F (a,i) [A].

рис. 10.9

Каждая точка образующей – А, B, C, D /см. рис. 10.9/ при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями.

Наибольшую и наименьшую параллели называют соответственно экватором и горлом /шейкой/.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами.

Меридиональную плоскость, параллельную плоскости проекций, принято называть главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.

Рассмотрим другой пример поверхности вращения

Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения можно получить различные поверхности.

Если окружность m вращать вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр, мы получим поверхность, называемую тором /рис 10.10/.

а) б)

рис.10.10

В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения поверхность тора подразделяют на:

- открытый тор /или кольцо/ - окружность не пересекает ось вращения /рис.10.10 а/,

- закрытый тор – окружность пересекает ось вращения или касается ее /рис. 10.10б/.

Точка А, принадлежащая поверхности тора, строится как точка, принадлежащая параллели этой поверхности.

Рис.10.11

Если окружность m вращать вокруг оси i, проходящей через центр этой окружности O, то окружность m опишет в пространстве хорошо известную поверхность, называемую сферой/см. рис.10.11/. Построение точки А, принадлежащей сфере, следует выполнять как построение точки, принадлежащей окружности этой сферы /см.рис.10.11/. Следует специально оговорить, что принадлежность точки любой произвольной поверхности вращения следует всегда определять как принадлежность точки параллели /окружности/ этой поверхности /см.рис. 10.9 -10.11/.

10.8 Поверхности второго порядка.

Поверхностью n – го порядка называют поверхность, уравнение которой есть алгебраическое уравнение степени n.

Плоскость, как известно, выражается уравнением первой степени, поэтому ее называют поверхностью первого порядка.

Поверхностью второго порядка мы будем называть поверхность, уравнение которой представляет собой уравнение 2 –ой степени.

В начертательной геометрии мы не задаем поверхности их уравнениями. Этим занимается аналитическая геометрия.

Порядок поверхности в начертательной геометрии определяется максимальным количеством точек /действительных или мнимых/, в которых прямая пересекает данную поверхность. Так плоскость – поверхность первого порядка, прямая может пересечь не более чем в одной точке. Сферу или круговой цилиндр, являющиеся одним из представителей поверхностей второго порядка, прямая будет пересекать в двух точках. Тор /круговое кольцо/есть поверхность 4 – го порядка. Эту поверхность прямая может пересечь не более чем в 4-х точках.

Порядок поверхности можно определить, руководствуясь следующим правилом.

Плоскость пересекает поверхность n – го порядка по кривой того же n – го порядка.

Приведем примеры этого положения. Мы уже отмечали, что плоскость является поверхностью первого порядка. Известно, что плоскость пересекает другую плоскость по прямой, т.е. по линии первого порядка. Любая плоскость пересечет сферу по окружности. Сфера есть одна из поверхностей второго порядка, ее сечение – окружность есть плоская кривая второго порядка.

Если эллипс, параболу, гиперболу, т.е. известные нам кривые 2-го порядка, вращать вокруг их осей, мы получим круговые поверхности 2-го порядка, которые будут соответственно называться эллипсоидом, параболоидом, гиперболоидом.

а) б) в)

рис.10.12

Гиперболу, кривую, состоящую из двух ветвей /рис.10.12а/, мы можем вращать, как вокруг ее действительной – m, так и вокруг ее мнимой оси – m₁.

В первом случае получим двуполостной гиперболоид /рис. 10.12б/,

во втором случае получим однополостный гиперболоид /рис.10.12в/.

Если поверхности вращения второго порядка подвергнуть равномерному сжатию или растяжению, в направлении перпендикулярном оси поверхности, эти поверхности из круговых, превратятся в эллиптические. Эллипсоид вращения превратится в трехосный эллипсоид, а параболоид и гиперболоид вращения преобразуются, соответственно, в эллиптический параболоид и эллиптический гиперболоид.

Перечислим все возможные поверхности 2-го порядка. Ими являются только следующие поверхности:

1. Цилиндры /круговой, эллиптический, параболический, гиперболический/,

2. конусы /круговой, эллиптический/,

3. эллипсоиды /вращения, трехосный/, сферу можно рассматривать, как частный случай эллипсоида, все оси которого равны,

4. параболоиды /вращения, эллиптический и гиперболический/,

5. однополостные гиперболоиды /вращения и эллиптический/,

6. двуполостные гиперболоиды /вращения и эллиптический/.

За исключением трех поверхностей: гиперболического и параболического цилиндров и гиперболического параболоида, все остальные могут пересекаться плоскостью по окружности. Таким образом, на всех поверхностях второго порядка, кроме трех указанных, можно расположить бесчисленное множество окружностей.

Материал лекции /не полностью/ изложен в учебнике С.А.Фролова /изд.1978/ на стр.51-57, 860-90.