Подмодуль 3.

Модуль 1. Начертательная геометрия

Кривые поверхности

Лекция 10

Поверхности

Содержание лекции.

Задание поверхности. Определитель поверхности. Принадлежность точки поверхности. Очерк поверхности. Цилиндрическая поверхность. Коническая поверхность. Поверхность вращения. Поверхности второго порядка.

10.1 Задание поверхности.

В начертательной геометрии наибольшее распространение получил так называемый кинематический способ задания поверхности.

С позиций этого способа поверхность рассматривается как множество всех положений движущейся в пространстве по определенному закону линии.

В качестве примера такого задания, рассмотрим задание цилиндрической /рис.10.1/ и конической /рис.10.2/ поверхностей.

Рис.10.1

Рис.10.2

Если прямая l перемещается в пространстве так, что при своем движении она все время пересекает кривую m, и остается параллельной заданному направлению S, то такая прямая опишет в пространстве цилиндрическую поверхность /рис.10.1/. Если прямую l заставить перемещаться так, чтобы она при своем движении всегда проходила через точку S и пересекала кривую m, то такая прямая опишет коническую поверхность /рис.10.2/.

В обоих случаях прямая l называется образующей, а кривая m – направляющей данной поверхности.

Другими словами, используя информацию о принадлежности прямой плоскости по I и II признаку /см. лекция №3/, и используя информацию, что в кинематическом способе поверхность результат пересечения объектов l Ç m, отметим, что образующая l принадлежит конической поверхности I признаку, т.е. две общие и нетождественные точки 1, S (на разных объектах- точка, кривая), а образующая l принадлежит цилиндрической поверхности II признаку, т.е. общая точка 1 и l || S.

В методе проекций: принадлежность объектов друг другу при изображении на чертеже - базовый вопрос.

10.2 Определитель поверхности.

При кинематическом способе задания поверхности она будет задана, если будет возможно в любой момент движения образующей знать ее положение и форму, а это, в свою очередь, позволит однозначно ответить на вопрос – принадлежит ли та или иная точка пространства данной поверхности или нет.

Кинематический способ задания поверхности подводит нас к понятию определителя поверхности.

Определителем поверхности будем называть совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.

В число условий, входящих в состав определителя, должны быть включены:

а) геометрические фигуры /точки, линии/, с помощью которых может быть образована данная поверхность;

б) алгоритм формирования поверхности из геометрических фигур, т.е.закон перемещения геометрических фигур, включенных в состав определителя.

Чтобы отличить эти части определителя, условимся, первую часть /геометрическую/ заключать в прямые, а вторую /алгоритмическую/ - в квадратные скобки.

Тогда определитель произвольной поверхности будет иметь следующую структурную форму:

F (Г ) [А],

где (Г ) – геометрическая часть,

[А] - алгоритмическая часть.

В качестве примера запишем определители для цилиндрической и конической поверхностей, заданных на рис.10.1 и рис.10.2.

Для цилиндрической поверхности /рис.10.1/ определитель будет иметь вид: F (m, S) [ (l_i Ç m) _^ [ (l_i || S)],

Для конической поверхности /рис.10.2/:

F (m, S) [ (SÎ l_i) _^ [ (l_i Ç m)].

10.3 Принадлежность точки поверхности.

Мы выше отметили, что поверхность может считаться заданной в том случае, если мы в состоянии однозначно ответить на вопрос – принадлежит ли заданная точка этой поверхности или нет. При определении принадлежности точки данной поверхности следует исходить из следующего правила.

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она лежит на линии, принадлежащей этой поверхности.

Как видим, это правило ничем не отличается от правила, которым мы определяли принадлежность точки плоскости /см. лекцию №3/. Следует только иметь в виду, что на плоскости в качестве такой линии мы всегда проводили прямую. При определении принадлежности точки кривой поверхности в качестве линии следует брать, если это возможно, простейшую – прямую или окружность. Если прямую или окружность на поверхности провести нельзя, следует строить более сложную линию.

Рассмотрим примеры.

Пусть нам даны фронтальные проекции точек А, принадлежащих цилиндрической /рис.10.1/ и конической /рис.10.2/ поверхностям. Требуется отыскать их горизонтальные проекции.

Для того, чтобы отыскать горизонтальные проекции точек, мы, в том и другом случаях, через точку А¢ ¢, в соответствии с требованием определителя, проводим фронтальную проекцию образующей - l¢ ¢ ₁, на которой должна лежать точка А. Эта образующая пересечет направляющую m в точке 1. Зная положение проекции точки 1¢ ¢, находим 1¢, через которую проводим горизонтальную проекцию образующей - l¢ ₁. Зная положение образующей, находим горизонтальную проекцию точки - А¢, используя линии связи.

Построив точку А, принадлежащую поверхности, мы можем утверждать, что данная поверхность задана.

Отметим, что точка B не принадлежит поверхности цилиндра /рис.10.1/, т.к. она не принадлежит прямой /образующей/ l₂ этого цилиндра.

При рассмотрении последующих разделов настоящей лекции мы еще раз остановимся на вопросе принадлежности точки поверхности.

10.4 Очерк поверхности

Задание поверхности ее определителем не всегда обеспечивает наглядность чертежа, особенно необходимую при начальном изучении начертательной геометрии. Для обеспечения такой наглядности мы будем, как правило, задавать поверхность на чертеже ее очерком /очертанием/.

Очерком будем называть поверхность, отделяющая внутренний объем от окружающего пространства.

На рис.10.3а представлена круговая коническая поверхность, заданная геометрической частью определителя F (i, l), в виде оси конуса i и образующей l, вращающейся вокруг прямой i.

На рис.10.3б та же поверхность задана своим очерком.

Рис.10.3а

Рис. 10.3б

Здесь коническая поверхность ограничена основанием конуса, заданного окружностью m. В обоих случаях точка А принадлежит поверхности конуса, т.к. она лежит на образующей l, принадлежащей поверхности конуса. Сравнивая эти два чертежа, видим, что с точки зрения наглядности изображения чертеж на рис.10.3б имеет несомненные преимущества перед первым, хотя с точки зрения определенности задания поверхности оба чертежа равноценны, т.к. в обоих случаях мы можем построить любое положение образующей конуса и, следовательно, решать любые относящиеся к его поверхности задачи.

Полный контур видимости конуса /рис. 10.3б/ наносят на эпюр лишь для того, чтобы подчеркнуть более наглядно, что за пределами этого контура нет точек, принадлежащих конусу.

При этом следует помнить, что с точки зрения полноты изображения, задание поверхности очерком является графически избыточным, т.е. в целях наглядности мы вносим в эти изображения элементы, которые в геометрическом смысле являются излишними.

Второе замечание: задание поверхности ее очерком удобно и целесообразно лишь в том случае, когда поверхность является замкнутой, а ее ось является прямой частного положения, лучше всего - проецирующей, т.е. прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

Мир поверхностей чрезвычайно широк и многообразен. Классификация их сложна и громоздка. Классификация поверхностей достаточно подробно изложена в учебнике С.А.Фролова /стр.57-92/. На лекциях будем рассматривать поверхности, нашедшие наиболее широкое применение в технике.

Будем рассматривать поверхности:

а) цилиндрические;

б) конические;

в) вращения;

г) второго порядка.

10.5 Цилиндрическая поверхность.

Цилиндрическая поверхность может быть неограниченно продолжена в обе стороны в направлении ее образующих. На практике при построении изображений мы имеем дело всегда с ограниченными отрезками цилиндрической поверхности.

Часть цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями. называется цилиндром, а сами сечения – его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью перпендикулярной к его образующим называется нормальным.

Если нормальным сечением является окружность, то цилиндр называют круговым. Только в круговой цилиндр можно вписать сферу. Поэтому круговую цилиндрическую поверхность определяют как геометрическое место параллельных прямых, касательных к сфере.

Если нормальным сечением является эллипс, то цилиндр называют эллиптическим, если парабола – параболическим, гипербола – гиперболическим.

Если нормальным сечением – геометрически неопределенная кривая, то будем иметь цилиндр общего вида.

Параболический и гиперболический цилиндры являются разомкнутыми или открытыми поверхностями.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым, если за основание принято какое-либо косое сечение, то цилиндр называют наклонным. Цилиндрическая поверхность, как и плоскость, может быть проецирующей.

Проецирующей цилиндрической поверхностью мы будем называть такую цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны к одной из плоскостей проекций.

Рис.10.4а

Рис. 10.4б

На рис.10.4 а показана горизонтально – проецирующая цилиндрическая поверхность общего вида j, образующие которой перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций p₁.

На рис.10.4 б показано изображение проецирующей цилиндрической поверхности на комплексном чертеже.

рис. 10.5

На рис. 10.5 изображен эллиптический цилиндр, за основания которого приняты наклонные сечения, представляющие собой окружности. Такой цилиндр иногда неправильно называют наклонным круговым цилиндром. Этот цилиндр не может быть круговым, т.к. в него нельзя вписать сферу.

Решим еще раз задачу на принадлежность точки поверхности. Пусть нам дана фронтальная проекция точки А /рис. 10.5/, принадлежащей поверхности данного эллиптического цилиндра. Требуется найти горизонтальную проекцию точки А.

Решить данную задачу /рис.10.5/ можно двумя путями.

1. Исходя из условия, что точка А лежитна поверхности цилиндра, которая может быть на прямой l (или кривой m), принадлежащей этому цилиндру по II признаку, т.е. общая точка 1 и l параллельна очерковой образующей эллиптического цилиндра. Общая точка 1 находят из условия пересечения образующей l основания цилиндра.

2. Исходя из условия, что точка А лежитна поверхности цилиндра, которая может быть на окружности m (илипрямой l), принадлежащей этому цилиндру, т.е. общая точка O – центр которой лежит на оси цилиндра.

Оба решения, естественно, дадут нам одно и то же положение горизонтальной проекции точки А.

10.6 Коническая поверхность.

Рис.10.6

О кинематическом способе задания и образования конической поверхности мы говорили выше. Коническая поверхность неограниченно простирается в обе стороны от точки Sи имеет, следовательно, две полости /рис.10.6/. Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и какой – либо плоскостью, пересекающей все образующие, называют конусом.Любое сечение конической поверхности такой плоскостью может быть принято за основание конуса.

Понятие о нормальном сечении в том виде, как мы установили его для цилиндрических поверхностей, неприменимо к коническим поверхностям, так как невозможно пересечь коническую поверхность перпендикулярно ко всем ее образующим.

Условимся называть нормальным сечением конической поверхности сечение, перпендикулярное к оси поверхности. Осью же конической поверхности будем называть линию пересечения ее плоскостей симметрии. Отсюда следует, что не все конические поверхности имеют ось, а только такие, у которых есть, по крайней мере, две плоскости симметрии. На рис.10.7 приведен конус, не имеющий плоскостей симметрии и, следовательно, оси. К таким коническим поверхностям, не имеющих оси, понятие о нормальном сечении неприменимо и их называют коническими поверхностями общего вида. Точку A, принадлежащую такому конусу, можно построить из условия ее принадлежности образующей конуса l.

Рис.10.7

Рис.10.8

Конические поверхности, имеющие ось, следует именовать сообразно виду нормального сечения. Если нормальное сечение конической поверхности – окружность, она называется круговой. Если принять это нормальное сечение за основание конуса, получим прямой круговой конус, у которого высота совпадает с осью и проходит через центр основания /см. рис.10.3б/.

Если же за основание принять какое – либо иное сечение круговой конической поверхности, тогда мы будем иметь наклонный круговой конус. В последнем случае /рис.10.8/ основание его не может иметь форму окружности /оно будет эллипсом/, и ось конуса не будет проходить через центр основания.

В круговой конус, как прямой, так и наклонный, всегда можно вписать сферу /рис. 10.8/, и наоборот, конус, описанный вокруг сферы, является круговым. Поэтому круговую коническую поверхность можно еще определить как геометрическое место касательных к сфере, исходящих из одной точки.

10.7 Поверхности вращения

Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой /плоской или пространственной/ при ее вращении вокруг неподвижной оси.

В состав определителя поверхности вращения входит образующая a, ось вращения i, и условие [А] о том, что эта образующая вращается вокруг оси i /рис10.9/.