Общие сведения о вихревом движении.

Вихревой скоростью называется мгновенная угловая скорость бесконечно малой жидкой ча­стицы.

Вихревой линией называ­ется линия, в каждой точке которой в данный момент вектор вихревой скоро­сти жидкости к ней касателен (см. рис. 1.).

Дифференциальное уравнение вих­ревых линий имеет вид:

(1)

или в виде двух совокупных уравнений:

; ; (2)

Вихревой трубкой (вихревым шнуром, вихревой нитью) назы­вается часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, про­веденными через все точки какого-нибудь бесконечно малого замкну­того контура, находящегося в области, Рис. 1. Вихревая линия (а) и занятой жидкостью. вихревая трубка (б).

Вихревая трубка представляет собой циркуляционный поток жидкости беско­нечного малого сечения df.

Вихревой поверхностью называется поверхность, ограничивающая вихревую трубку.

Интенсивностью или напряжением вихревых трубок называется удвоенное произведение угловой скорости на пло­щадь поперечного сечения трубки:

[м²/сек]. (3)

Важнейшим свойством вихревой трубки является постоянство напряжения по длине трубки, т. е. аналогично постоянству расхода имеем:

(4) или

(5)

Согласно уравнению (II, 60) в меньшем сечении трубки возникает большая угловая скорость. Вследствие этого вихревая трубка не мо­жет оканчиваться в жидкости, так как при уменьшении сечения труб­ки до нуля угловая скорость стала бы бесконечно большой.

Вихревые трубки внутри ограниченного объема жидкости закан­чиваются или на стенках сосуда, или на свободной поверхности жид­кости, или же образуют замкнутые вихревые кольца.

Интенсивность вихревой трубки может оцениваться также цирку­ляцией скорости. Это аналогично понятию работы сил в теоретической механике.

Возьмем в жидкости точку А, принадлежащую замкнутому контуру длиной l (рис. 65); вектор скорости жидкости в точке A, а касатель­ная к контуру К. Угол, образованный между вектором скорости и

Рис. 2. К понятию о циркуляции Рис. 3. Циркуляция вектора

вектора скорости по замкнутому контуру.

касательной К, обозначим через а. Если взять сумму произведений про­екций скорости на соответствующую касательную в каждой точке кон­тура на элемент длины линии контура dl, то получим так называемую циркуляцию по контуру:

[м²/сек] (6)

Если обозначить углы между направлением касательной и осями координат через α ₁, β ₁, γ ₂ а углы между направлением скорости и ося­ми координат — через α ₂, β ₂, γ ₂ то между этими углами и углом а будет существовать следующая зависимость:

Выразим косинусы через скорость и элементы дуги и их проекции на оси координат:

(7)

Подставляя (II, 62) в уравнение циркуляции, получим

[м²/сек] (8)

Уравнение (II, 63) аналогично уравнению суммы элементарных работ в механике, только здесь роль силы играет скорость. Исходя из выражения (II, 63), циркуляцию скорости Г можно определить как работу скорости на замкнутом контуре:

[м²/сек] (9)

Для установления связи между циркуляцией и интенсивностью вихревой трубки выделим внутри жидкости бесконечно малый замк­нутый контур abсd со сторонами dy и dz (рис. 66).

Допустим, что в точке а (х, у, z) этого контура скорости w_x, w_y, w_z. На сторонах и cd действуют скорости соответственно w_y и , а их сумма ; на сторонах bcи daдействуют скорости соответственно w_z и , а их сумма . Составляя выражение для циркуляции по всему бесконечно малому контуру abсd, согласно уравнению (11, 63), надо про­суммировать произведения скорости на длины отдельных сторон:

(I0)

Согласно уравнению Громеки:

Поэтому

но по уравнению (11, 58)

,

и, следовательно,

. (12)