Метод Лагранжа

Движение одной какой-либо частицы жидкости определяется системой трех уравнений:

и (2)

где х, y, z – координаты данной частицы, а t – время (x, y, z являются функциями времени).

Для точного описания движения всех частиц данного потока потребовалось бы иметь бесконечное множество таких уравнений, что невозможно.

Таким образом, движение всей массы жидкости будет известным, если известна следующая система:

(3)

В этой системе начальные координаты a, b и c могут рассматриваться как независимые переменные. Следовательно, координаты x, y и z являются функциями четырех независимых переменных a, b, c и t. Эти переменные называют координатами Лагранжа.

Если система (3.1) известна (задана или найдена), то движение жидкости определяется в полной мере. Действительно, составляющие скорости любой частицы определяются как первые производные по времени от x, y и z и записанные в виде частных производных в соответствии с (3.1):

(4)

а составляющие ускорения определяются как вторые производные

Метод Эйлера

Рассмотрим движение жидкости в некоторой области. В каждой точке этой области в данный момент частицы жидкости имеют скорость u.

Вся совокупность векторов, изображающих соответствующие скорости, составляет так называемое векторное поле скоростей движении, все поле изменяется во времени и, следова­тельно, компоненты скорости являются функциями не только координат, но и времени (рис. 2.2):

u_x=F₁(x, y, z, t);

u_y=F₂(x, y, z, t); I

u_z=F₃(x, y, z, t).

Для установившегося движения поле скоростей остается во времени неизменным, и поэтому Рис. 2.3. для взамен системы I получим систему уста­но-

вившегося движения:

u_x=F₁(x, y, z, t);

u_y=F₂(x, y, z, t); II

u_z=F₃(x, y, z, t).

Аналитическим условием того обстоятельства, что движение является установившемся, будет:

(5)