Сызықты емес модель

«Димаш» атты компания номенклатуралық топтағ ы ү ш тү рлі А, Б, В бұ йымдарды шығ арады. Осы бұ йымдар бір ө ндіріс орнында бір жабдық тармен жасалады жә не жабдық тың жалпы жұ мыс қ оры бұ йымдарды ө ндірген уақ ыттар сомасынан қ ұ ралады. Сондық тан осы бұ йымдардың шығ ару мө лшерлері бір-бірімен тығ ыз байланысты. Компания экономисі бір топтағ ы осы бұ йымдардың жалпы ө ндіру қ ұ ны, бір-бірінің ө ндірілген сандарымен (х_а, х_б жә не х_в) мынадай эмпириялық байланыста болатынын анық тады:

С = 200 х_а + 600 х_б + 400 х_в - 100 х_ах_б -50 х_бх_в + 150 х_ах_в, тең ге

Сонымен қ атар, бұ йымдардың сату қ ұ ны, олардың ө ндірілген санына байланысты болатыны, яғ ни бұ йымдар кө п ө ндірілсе соғ ұ рлым сату қ ұ ндары тө мендейтіні анық талды. Осы заң дылық -тардың эмпириялық модельдері статистикалық деректер арқ ылы тұ рғ ызылды, яғ ни бір дана i -бұ йымының қ ұ ны:

Ц _а = 750(2 - х_а /500), тең ге,

Ц _б = 1000 (2, 5 - х_б /500), тең ге,

Ц _в = 1500 (1, 5 - х_в /500), тең ге,

Ө ндіріс орнындағ ы жабдық тың қ уаты, егер бұ йымдардың барлық тү рін бір уақ ытта шығ аратын болса, онда олардың 500 данасын ғ ана шығ ара алады. Осы жағ дайда ө ндіріс максималды пайда табу ү шін компанияғ а ә рбір бұ йымдарды қ анша данадан шығ арғ ан тиімді екенін табу керек.

Шешу. Есептің математикалық моделін қ ұ рамыз. Есепте қ ойылғ ан мақ сатқ а жауап беретін айнымалылар: х_а, х_б жә не х_в – белгілі, яғ ни жасалынатын А, Б, В бұ йымдардың оң тайлы мө лшері. Тапқ ан пайданы (Z) есептейтін мақ сат функцияны тұ рғ ызамыз.

Z = Ц_ах_а + Ц_бх_б + Ц_вх_в – C

немесе

Z = 750(2 - х_а /500) х_а + 1000 (2, 5 - х_б /500) х_б + 1500 (1, 5 - х_в /500) х_в –

– (200 х_а + 600 х_б + 400 х_в - 100 х_ах_б -50 х_бх_в + 150 х_ах_в)

Біраз тү рлендіргеннен кейін, мақ сат функция мына қ алыпқ а келеді:

Z = 1300 х_а + 1900 х_б + 1850 х_в – 1, 5 (х_а)²– 2 (х_б)²– 3 (х_в)² +100 х_ах_б +

+ 50 х_бх_в – 150 х_ах_в → max.

Кө ріп отырмыз, мақ сат функция сызық ты емес. Келесі кезекте шектеулер модельдерін тұ рғ ызайық. Есепте жалғ ыз ғ ана «Ү лкен» шектеу, ол – шығ арылатын бұ йымдардың жалпы мө л-шерінің шектеуі: х_а + х_б + х_в ≤ 500 жә не мә ндері ізделініп отырғ ан айнымалылардың теріс болмау шарты: х_а ≥ 0, х_б ≥ 0жә не х_в ≥ 0. Тағ ы бір айрық ша ескеретін жағ дай, ондағ ы ізделініп отырғ ан айнымалылар бү тін сандар. Модель сызық ты емес болғ ан жағ дайда, бұ л қ ызық ты талап.

Сонымен математикалық модель дайын. Оны MS Excel-дің жұ мыс бетіне кестелік модельге кө шірейік. Біздің қ ұ рғ ан кестелік моделіміз 2.19-суретте кө рсетілген. Кестелік модельде мақ сат функция формуласын енгізген кезде мұ қ ият болғ анымыз жө н (суретті қ араң ыз).

2.19-сурет. Сызық ты емес модельдің шешімі

Мақ сат функцияны есептеу ү шін кестелік модельде оның коэффициенттері: «Айнымалылар қ асындағ ылар», «Квадратты айнымалылардың қ асындағ ылар» жә не «Айнымалылар кө бейтінді-лердің қ асындағ ылар» болып, ү ш топқ а бө лінді. Е12 ұ яда мақ сат функцияның аталғ ан коэффициенттермен формуласы В4: D4 аралық тағ ы ұ яларғ а, мә ндері ізделініп отырғ ан айнымалылар есеп-тегі жалғ ыз негізгі шектеу 15-ші жолғ а жә не Е15 ұ яғ а шектеудің сол жағ ының формуласы: =СУММПРОИЗВ(В15: D15; $В$4: $D$4) жазылды. Есептің шешімі, яғ ни 18-ші жолда В18: D18 аралық тағ ы ұ яларда, қ анша дана, сә йкесінше А, Б жә не В бұ йымдары шығ арылатыны, сол сияқ ты Е18 ұ яда осы бұ йымдарды сатқ аннан кейін компанияғ а қ анша пайда тү сетіні кө рсетілуі керектігі қ арастырылды (2.19-сурет).

Келесі кезекте шектеулерді Поиск решения- ғ аауыстыра-мыз. Осы істерден кейін Поиск решения- ның сұ хбаттасу терезесінің қ алпы 2.20-суреттегідей болады.

Поиск решения -ның Параметры арқ ылы келесі сұ хбаттасу терезесінде есептің моделі сызық сыз болғ андық тан Линейная модель -ден флажокты алып тастаймыз. Айнымалылардың теріс болмау жә не автоматты масштабтау шарттарын белгілейміз (флажок қ ойылады). Осы ә рекеттерден кейін есеп орындалуғ а жіберіледі. Есептің шешімі 2.19-суретте кө рсетілген.

2.20-сурет. Поиск решения -ның сұ хбаттасу терезесі

Есептің оң тайлы шешімінен (х_а =0) компанияғ а А бұ йымын шығ арумен айналысу тиімсіз болатынын байқ аймыз. Оның есесіне Б бұ йымын 255 дана, ал В бұ йымын 245 дана шығ ару компанияғ а ө те тиімді. Ө ндірістің мұ ндай жоспары «Димаш» компаниясына 3751375 тең ге пайда тү сіреді.

Сызық ты емес модельдің шешімінің талдау тә сілдеріне келесі тақ ырыпта терең ірек тоқ таламыз. Дегенмен де, сызық ты емес модельді Поиск решения сұ хбаттасу терезесінің ә ртү рлі параметрінде жә не бастапқ ы мә ндерде біраз зерттеп кө рейік.

Сызық ты емес модельдерге қ атысты Поиск решения -ның параметрлері: Сходимость, Оценки, Разности жә не Метод поиска. Аталғ ан параметрлер қ арастырып отырғ ан сызық ты емес модельге қ алай ә сер ететінін зерттейік. Ол ү шін оларды белгілі тә сілмен іске қ осамыз да, Выполнить батырмасын басып, есепті шешуге жібереміз. Сө йтіп, аталғ ан параметрлер есептің алынғ ан нә тижесіне ешқ андай да ә сер етпейтінін байқ адық. Есепте анық талғ ан айныма-лылардың бастапқ ы мә ндерін ө згертейік. Айталық, х_а ≥ 200 болсын. Оны кестелік модельге В4 ұ яғ а енгіземіз де, есепті орындауғ а жібереміз. Есептің жаң а шешімі 2.21-суретте кө рсетілген. Жаң а шешімді 2.19-суретпен салыстырсаң ыз, онда біраз ө згерістер бар екенін байқ айсыз. Біріншіден, А бұ йымын шығ арудың бастапқ ы мә ні белгілі болғ ан жағ дайда, ө ндіріс жоспары айтарлық тай ө згеріске ұ шырағ ан. Екіншіден, осы ә рекеттен кейін ө ндіріске А (248 дана) жә не Б (252 дана) бұ йымдарын шығ ару тиімді болды да, пайда 6831536 тең ге, яғ ни жуық тап алғ анда ол екі еседей кө бейді. Демек, қ арастырылып отырғ ан мысалдың осы ө згерісінен сызық ты модельдерге қ арағ анда сызық ты емес модельдерде айрық шылық -тар болатынын байқ аймыз. Атап айтсақ, мұ ндай модельдерде бірнеше оң тайлы шешімдер болуы мү мкін жә не сіз ондай шешім-дер қ аншалық ты жә не оларды қ алай табатынын алдын ала айта-алмайсыз. Дегенмен де, барлық айнымалыларғ а бастапқ ы ә ртү рлі мә ндер тағ айындап, зерттеулер жү ргізу арқ ылы бір дә йекті шешім қ абылдауғ а болатынына да кө з жеткіздік. Біздің мысалда айныма-лыларғ а кезек-кезек алғ ашқ ы мә н бере отырып, есепті бірнеше рет шешкенімен, осы қ арастырылып отырғ ан екі шешімнен басқ а мақ сат функцияны жақ сартатындай шешім таба алмадық. Сондық -тан қ арастырылып отырғ ан модельдің басқ а оң тайлы шешімі жоқ деп тұ жырымдаймыз (бірақ, бұ л тұ жырым, сө зсіз, дә лелдеуді талап етеді).

Есептің шарты бойынша қ алғ ан екі айнымалыларғ а жоғ арғ ы-дай міндеттеме жү ктелінсе, яғ ни алғ ашқ ы модельге бірінші кезек-те: х_б ≥ 200, екіншісінде: х_в ≥ 200, қ осымша шектеулер енгізіп, есепті қ айта-қ айта шығ арып, алғ ашқ ы екі шешімді қ айтадан алдық.

2.21-сурет. Сызық ты емес модельдің жаң а шешімі

Сызық ты емес модельдің параметрлерін ө згертіп, ә ртү рлі шешім нә тижелерін сақ тап отыратын болғ андық тан, сценария кө мегін қ олдандық. Ол ү шін Поиск решения мен шешім (2.19-сурет) табылғ аннан кейін сұ хбаттасу терезесінде Результаты поиска решения алынады, осы терезеде Сохранить сценарий батыр-масын іске қ осамыз. Сохранение сценария сұ хбаттасу терезесі ашылады да, онда сценария аты енгізіледі. Біздің мысалда, ол «1-ші шешім» деп аталды. Осыдан кейін бірінші шешім сценариясы сақ талады. Екінші шешімде (2.21-сурет) А бұ йымын 200 данадан кем емес (х_а ≥ 200), ү шінші шешімде Б бұ йымын 200 данадан кем емес (х_б ≥ 200) жә не тө ртінші шешімде В бұ йымын 200 данадан кем емес (х_в ≥ 200) ө ндіру керектігі қ арастырылды, шешім нә тижелері жоғ арыда баяндалғ ан ретпен сақ талынды (келесі тақ ырып, 2.24-сурет).

Инженерлік-техникалық сызық ты емес модельдердің жалғ ыз ғ ана шешімі барлығ ын ерекше «белгілер» арқ ылы анық тауғ а бола-ды. Мұ ндай «белгілер» шектеулермен берілген айнымалылардың барлық ө згеретін аймақ тарында мақ сат функцияның дө ң ес немесе ойыс екенін анық тауғ а болатын, оның сыртқ ы тү ріне негізделген. Дегенмен де, кө п мү шелі функция тү ріндегі модельдердің мұ ндай қ асиеттерін тексеру арнайы математикалық ә дістерді қ олануды талап етеді жә не жең іл есеп емес.

Сонымен, сызық ты емес модельдердің альтернативті шешім-дерінің ішінен ең керекті оң тайлы шешімді іздейтін қ азіргі кезде бірнеше математикалық ә дістері бар. Олардың кө бісі шартсыз оң тайластыру есептерінде қ арастырылады.