Сызықты емес модельдердің шешімін талдау

Сызық ты емес модельдер шешімін талдаудың негізгі мә селесі-кейбір жиі кездеспейтін жағ дайлардан басқ а табылғ ан шешім шындығ ында оң тайлы, одан артық басқ а шешім жоқ деп сендіруге жә не сенім білдіруге болмайды. Айнымалылардың ә р-тү рлі бастапқ ы мә нінде есепті қ айта-қ айта шешіп, шешім нә тиже-лерін салыстыру арқ ылы бір шешімге тоқ талып, оны альтернативті оң тайлы шешімдердің ішіндегі ең басты оң тайлы деп тұ жырым жасау ә рекеті де сізді кү мә нданудан қ ұ тқ армайды. Себебі, ық ти-малдық тың шамасы ө те аз болса да, сізде ә лі де болса ең басты оң тайлы шешімді алмағ аның ыз туралы сенімсіздік қ алды. Ө кініш-ке орай, мұ ндай жағ дайда қ андай ә діс, ә рекеттер қ олдану керектігі туралы біз қ арастырғ ан ә дебиеттердің ешқ айсысынан да кездестіре алмадық. Дегенмен де, айнымалылардың ә ртү рлі бастапқ ы мә нінде есепті қ айта-қ айта шешіп, шешім нә тижелерін салыстыру арқ ылы, яғ ни мақ сат функция максимумге ізделініп отырса бір шешімде алынғ ан оның ең ү лкен (мақ сат функция минимумге ізделген жағ -дайда, керісінше) мә ніне тоқ талып, қ алғ ан шешімдердің барлығ ын ө шіріп, тағ ыда айнымалылардың келесі бастапқ ы басқ а мә нінде есепті шешуді жалғ астырып, аяғ ында бір дә йекті нә тижеге жетуге болатынына кү мә н жоқ.

Сө йтіп, біздің мысалда осындай ә рекеттер жасалынып, бір тұ жырымғ а жеттік деп есептейік.

Сызық ты емес модельдер шешімін талдауда Поиск реше-ния сызық ты модельдер шешімінде алатын есептер сияқ ты есеп-терді қ алыптастырады. Нә тижелер жә не шекаралар бойынша есептердің сызық тық модельдер шешімдерінде алынатын есептер-ден ешқ андай айырмашылық тары болмайды. Тек, орнық тылық есеп сызық ты емес модельдер шешімдерінде басқ а тү рде қ ұ ры-лады.

2.22–суретте жоғ арыда қ арастырылғ ан «Димаш» компания-сының сызық ты емес моделінің бірінші шешімінің орнық тылық есебі кө рсетілген. Келесі кезекте біз осы есеп бойынша шешім нә тижесіне талдау жасап кө рейік.

2.22-сурет. Сызық ты емес модель ү шін орнық тылық бойынша есеп

Орнық тылық бойынша есепте бізге сезімталдық ты талдау ү шін, Нормированный градиент бағ анасындағ ы Изменяемые ячейки кестесіндегі Множитель Лагранжа бағ анасындағ ы жә не Ограничения кестесіндегі мә ндер қ ызық ты.

· Нормированный градиент – мә ні нө лге тең болады, егер оғ ан сә йкес айнымалы ө зінің ө згеріс аралығ ының шеткі шегіне жақ ын жатса (0 ≤ х _і ≤ а ₀немесе а ₁ ≤ х _і ≤ а ₂).Егер х _і = 0 немесе х _і = а ₀, немесе х _і = а _1, немесе х _і = а ₂ болса, онда нормированный градиент (нормалдық бағ а) осы айнымалының ө згерістерінде (модельдің қ алғ ан параметрлері ө згеріссіз қ алғ ан жағ дай-да) мақ сат функция мә нінің лезде (кірпік қ ақ қ анша) ө згерісінің жылдамдығ ын кө рсетеді.

· Лагранжа кө бейткіші – сә йкес шектеудің оң жақ тағ ы мә нінің ө згерістерінде (модельдің қ алғ ан параметрлері ө згеріссіз қ алғ ан жағ дайда) мақ сат функ-ция мә нінің лезде (кірпік қ ақ қ анша) ө згерісінің жылдам-дығ ын кө рсетеді. Лагранжа кө бейткіші оң тайлы шешімде оғ ан сә йкес шектеу байланысты болса, тек сонда ғ ана нө лден басқ аша.

Қ арастырылып отырғ ан екі кө рсеткіштің қ ызметтері, оларғ а ұ қ сас сызық тық модельдің нормальдық бағ а (қ осымша қ осалқ ы айнымалы) жә не кө лең келік қ ұ н (қ осалқ ы бағ а) кө рсеткіштерінің қ ызметтерімен бірдей емес. Нормированный градиент – оғ ан сә й-кес айнымалы бойынша жә не Лагранжа кө бейткіші – оғ ан сә йкес шектеудің оң жағ ы бойынша мақ сат функциядан алынғ ан туынды-лар (мақ сат функция мә нінің лезде (кірпік қ ақ қ анша) ө згерісінің жылдамдығ ы деп аталуының ө зі осы себепті жә не осы қ ұ былыс-тың анық тамасы). Сондық тан, егер нө лдік айнымалы мә нін жоғ а-рылатқ анда, мақ сат функция мә ні осыншама тө мендетілсе, бұ л кө рсеткіштерді бағ алау кө рсеткіштері ретінде қ олдануғ а болады.

Сө йтіп, сызық ты емес модельдің орнық тылық есебі, оның басқ а есептері сияқ ты, шектеулердің оң жақ тарынан басқ а, модель-дің параметрлері туралы ештең е де айтпайды. Сондық тан, егер модельдің басқ а параметрлері арқ ылы оның сезімталдығ ын зерттеу керек болса, онда модельді керекті параметрлердің мә нінде бірне-ше рет шешуге тура келеді. Тө менде осындай шешімдер нә тижесіне талдаулар жү ргізіледі.

Екі шешімнің нә тижелерін жоғ арыда қ ысқ аша талқ ыладық. Екінші шешімде пайда 6831536 тең ге, яғ ни біріншіге (3751375 тең ге) қ арағ анда пайда жуық тап алғ анда екі еседей кө бейді. Мін-детті тү рде айнымалылардың біреуі оң тайлы шешімде нө лге тең болуы, екі шешімде де бірдей жә не бұ л осы шешімдердің кемшілігі. Бірінші шешімде, егер оң тайлы шешімге х_а бір бірлігін енгізетін болсақ, онда мақ сат функция мә ні 23, 08 мың тең геге (бұ л 2.22-суретте нормированный градиент -тің мә ні) кішірейген болар еді. Осығ ан сә йкес, екінші шешімде, егер оң тайлы шешімге х_в бір бір-лігін енгізсек, онда мақ сат функция мә ні 48, 536 мың тең геге (бұ л 2.23-суретте нормированный градиент- тің мә ні) тө мендейді. Сондық тан, егер оң тайлы шешімге енбеген ә рбір бұ йым 100 дана-дан кем ө ндірілмесін деген ө ндірістік қ осымша талап қ ойылса, онда бірінші шешімде пайда 2308 мың тең геге тө мендейді (қ алғ ан пайда 943375 тең ге қ ұ райды), ал екінші шешімде пайда 4853, 6 мың тең геге тө мендейді (қ алғ ан пайда 5977936 тең ге қ ұ райды). Сө зсіз, мұ ндай жаң а шектеулерде есепті қ айта шығ арғ ан жө н. Дегенмен де, қ арастырылып отырғ ан шартта да екінші шешімнің айырмашы-лығ ы анағ ұ рлым жоғ ары екені анық байқ алады.

2.23-сурет. 2-ші шешімде алынғ ан орнық тылық бойынша есеп

Енді шектеулерге кө шейік. Біздің модельде шектеу біреу - ол ө ндірілетін бұ йымдардың шектік саны (яғ ни шектеудің оң жағ ы бү тін сан ө лшем бірлігімен «дана» деп ө лшенеді). Сондық тан, осы шектеуге байланысты Лагранжа кө бейткіші қ ор (яғ ни ө ндірілген бұ йымдардың жалпы саны) бағ асы ретінде қ арастырылады. Басқ а сө збен айтқ анда, Лагранжа кө бейткішін барлық бұ йымдарды бірге қ арастырғ анда (біріктірген) бір бұ йымнан алынатын пайда (пайда-ғ а бір бұ йым ү лесі) немесе жалпы барлық бұ йымдар санының (тү рлеріне байланыссыз) бір данасына шақ қ андағ ы орташа пайда деп тү сіндіріледі. Аталғ ан пайдағ а бір бұ йым ү лесі мә нітек алын-ғ ан шешімнің жанында кішкене аймақ та сенімді, бірақ, барлық ше-шімі бола алатын аймақ та бұ л мә н сенімді емес екенін ұ мытпағ ан жө н.

Бірінші шешімде Лагранжа кө бейткіші 13130 тең геге, ал екіншіде – 25724 тең геге тең. Егер ө ндіріс орны қ ойылғ ан шарт бойынша ө ндірілетін барлық бұ йымдар саны 500 дананың орнына 501 дана ө ндіретін болса, онда осыншама шамағ а пайда мә ні кө терілген болар еді. Кө ріп отырмыз, бұ л жолы бірінші шешімге қ арағ анда тағ ыда екінші шешім ұ тымды.

Осымен сезімталдық ты талдауды бітірсе де болады. Ө йткені, орнық тылық есебінде тағ ы да қ арастыратындай ешқ андай да мә лімет таба алмадық. Дегенмен де, осы жерде заң ды сұ рақ туады: «Барлық бұ йымдар міндетті тү рде ө ндірілетін болса, онда оларды қ аншадан ө ндірген тиімді болар еді?» Осы сұ рақ қ а жауап беру ү шін барлық бұ йымдар тү рлерін 150, 160 жә не 165 данадан кем емес ө ндірілуі міндеттелген жағ дайда жаң а шектеулер қ ұ рылып (х_а≥ 150; 160; 165, х_б≥ 150; 160; 165 жә не х_в≥ 150; 160; 165), есептің қ айта-қ айта шешімін тауып, нә тижесі жоғ арыда баяндалғ ан тә сілмен сценарияда сақ талды (2.24-сурет. 5-ші, 6-шы жә не 7-ші шешімдер).

Сценария кестесінен (2.24-сурет) кө ріп отырмыз, барлық шешімдердің нә тижелері екінші шешімге жетпейді. Сондық тан, жоғ арыда келтірілген сұ рақ қ а жалғ ыз ғ ана жауап – ө ндірістің максималды мү мкінділігі В бұ йымын қ анша ө ндіру керектігіне байланысты. Егер оны аз ө ндіру міндеттелінсе, онда ө ндіріс пайда-сы екінші шешімнің нә тижесіне ұ мтылады да, оны кө п ө ндірген сайын пайда тө мендейді.

2.24-сурет. Сызық ты емес модельдің сценариялар бойынша есебі

«Димаш» компаниясы ө ндірісінің сызық ты емес модель-дерінің шешімдерін қ ысқ аша талдауды қ орытындылайық.

1. Табылғ ан пайда мә ні бойынша ө ндіріске ең тиімді жоспар екінші шешімнің нә тижесінде, мақ сат функцияның мына мә нінде Z = 6831536 тең ге (сценариядағ ы 2-ші шешім) алынғ ан: х_а = 248,

х_б =252 жә не х_в = 0 кө рсеткіштер. В бұ йымын ө ндіруді ұ лғ айтсақ, онда оның бір данасына шақ қ анда мақ сат функция мә ні 48, 536 мың тең геге қ ысқ арады. Жалпы ө ндірілген бұ йымдар кө лемі ұ лғ айғ ан сайын пайда да кө бейеді, 500 данадан асқ ан бұ йымдар санының бір бірлігінен пайда 25724 тең геге ө седі.

2. Егер ө ндіріске кез келген бұ йымды 150 данадан кем ө ндірмеу керек деген міндеттеме жү ктелсе, онда сызық ты емес модель мақ сат функцияның мына мә нінде Z = 1796250 тең ге, мынадай шешім х_а =150, х_б =200 жә не х_в = 150 береді. Ө ндіріске қ ойылғ ан міндеттемеге байланысты бұ л ең оң тайлы жоспар болып есептелінеді. Кө ріп отырмыз, мұ ндай жоспарда екінші шешім жос-парына қ арағ анда пайда тө рт еседей кеміген. Кез келген бұ йымды ө ндіру кө лемі туралы модельге жү ктелетін міндеттеме азайғ ан сайын В бұ йымының саны міндеттемеде кө рсетілген мә ннен аспайды да, ал басқ а бұ йымдардың саны жә не мақ сат функция мә ні керісінше кө бейеді. Осыдан, В бұ йымды ө ндіруді максималды қ ысқ артсақ, пайда соғ ұ рлым ө седі деген тұ жырым ө з-ө зінен туындайды.

Сонымен, сызық ты емес модельдің шешімін талдау қ ортын-дысы осындай.