Оңтайлы шешімді талдау

Поиск решения сызық тық модель есебін шешу нә тижесінде ү ш есеп (отчет) беретіні туралы жоғ арыда айтылды.

Нә тиже бойынша есеп (1.14-сурет). Есеп ү ш кестеден тұ рады. Бірінші кестеде мақ сат функция туралы мә ліметтер, екінші кестеде есепті шешу нә тижесінде алынғ ан, іздеп отырғ ан айнымалылардың мә ндері жә не ү шінші кестеде шектеулер ү шін жә не шекаралық шарттар ү шін оң тайлы шешімнің нә тижесі алынады (1.14-сурет).

Қ андай шектеулер байланысты (связанное) жә не қ андай шектеулер байланыссыз (не связан.)екенін анық кө рсетуіне байланысты, нә тиже бойынша есеп сезімталдық ты талдауда пайдалы. Бұ л мә ліметтер есепте, Шектеулер кестесінде Статус бағ анасында берілген. Сол кестенің Разница бағ анасында шектеулердің оң жә не сол жақ бө ліктерінің айрымдарының мә ні кө рсетілген. Кө ріп отырмыз, егер қ ор толық қ олданылса шектеу байланысты, ал керісінше жағ дайда байланыссыз делінеді.

Егер ізделініп отырғ ан айнымалылар мә ндерінің тө менгі жә не жоғ арғ ы ө згеру аралығ ы белгілі болса, онда нә тиже есебінің ү шінші кестесінде қ орлардан кейін жалғ астырылып, осы айныма-лылардың шекаралық шарттары орындалуы туралы (жоғ арыда аталғ ан бағ аналарда) есеп беріледі. Біздің мысалда, мұ ндай шарт қ арастырылмағ ан.

1.14-сурет

Сезімталдық ты талдауда орнық тылық есебі басқ а есептерге қ арағ анда мә ндірек. Орнық тылық есебі екі кестеден тұ рады (1.15-сурет). Бірінші «Белгісіздер ұ ясы» кестесінде мынадай мә ліметтер беріледі:

- есептің шешім нә тижесі;

- нормированная стоимость (немесе v _і– қ осымша қ осалқ ы айнымалы); Қ осымша қ осалқ ы айнымалылардың мә нісі неде? Қ осымша қ осалқ ы айнымалылар (нормированная стоимость) деп қ осалқ ы есепті тең дікке тү рлендіргендегі қ осымша v _і-айныма-лыларды атайды. Негізгі айнымалылар (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄) ішінен оң тайлы шешімге енгендеріне (біздің мысалда, х ₁=250 жә не х ₃=536) сә йкес қ осымша қ осалқ ы айнымалылар (v ₁=0 жә не v ₃= 0), ал енбегендерін е (біздің мысалда, х ₂=0 жә не х ₄=0) сә йкес қ осымша қ осалқ ы айныма-лылар (v ₂ = - 0, 2767857 жә не v ₄ = -11, 241). Егер осы оң тайлы шешімге енбеген ө німдерді еріксіз оң тайлы шешімге ендірсек, онда олардың бір бірлігі енген жағ дайда, қ осымша қ осалқ ы айныма-лылар теріс болса мақ сат функция олардың шамаларына ө седі, ал оң болғ ан жағ дайда керісінше кемиді.

Біздің мысалда, 2-ші ө нім бір бірліктей еріксіз ө ндірілсе мақ сат функция: Z=114107, 1+1·0, 2767857=114107, 3767857 а.б. жә не сә йкесінше 4-ші ө німде – Z= 114107, 1 + 1· 11, 241 = 114118, 341 а.б., яғ ни қ осымшалар (нормированная стоимость) шамасына ө сті. Осы жерде мынадай сұ рақ туады: қ анша шекарағ а дейін бұ л қ ортынды сенімді? Зейін қ ойсаң ыз, жауапты келесі тұ жырымдарда аласыз;

Допустимое увеличение жә не Допустимое уменьшение бағ а-наларындағ ы мә ндер, айнымалылардың табылғ ан мә ндері ө згеріс-сіз қ алғ ан жағ дайда, мақ сат фукция коэффициенттері қ андай аралық тарғ а дейін ө згеретінін кө рсетеді.

1.15-сурет

Екіші кестеде шектеулер ү шін бірінші кестедегі сияқ ты кө рсеткіштер берілген:

– орлардың қ олданылғ ан шамасы;

–кө лең келік қ ұ н (MS Excel-де аталуы), ә дебиеттерде қ осалқ ы бағ алар у _і деп аталады. Егер оң тайлы шешімде i-қ ор толығ ымен қ олданылмаса, оның шамасы ө ндірістегі басқ а қ орлар шамасымен балансталмағ ан, яғ ни артық мө лшерлі болса, онда сол i-қ ор шектеуінің қ осымша айнымалысының мә ні сол артық мө лшерге, ал осы шектеудің қ осалқ ы бағ асы (кө лең келік қ ұ н) нө лге (у _і =0 ) тең болады. Біздің мысалда, шикізат қ оры толығ ымен қ олданылмады, қ осымша айнымалы мә ні 1000 тең, ал қ осалқ ы бағ а (у ₂=0). Ең бек жә не қ аржы қ орлары толығ ымен қ олданылды, сондық тан олардың қ осымша айнымалылары нө лге тең, ал қ осалқ ы бағ алары, сә йке-сінше: у ₁=69, 64 жә не у ₃ = 0, 26785. Сонымен қ атар қ осалқ ы бағ алар мә ні, қ орлар шамасы бір бірлікке ө згергенде мақ сат функция мә ні қ аншалық ты ө згеретінін кө рсетеді. Кестеден кө ріп отырмыз, шаруашылық та ең бек қ оры ө те қ ұ нды (у ₁ = 69, 64). Ең бек қ оры бір бірлікке кө бейсе: Z=114107, 1 + 1·69, 64=114176, 74 немесе бір бірлікке азайса: Z=114107, 1 – 1·69, 64=114037, 46. Қ аржы қ оры жө нінде осындай есептеулерді келтіруге болады. Бірақ, мақ сат функция мә ні айтарлық тай ө згеріске ұ шырамайтынын қ осалқ ы бағ аның мә нінен-ақ байқ ауғ а болады. Осы жерде, қ анша шекарағ а дейін мұ ндай есептеулер сенімді? – деген заң ды сұ рақ туылады. Зейін қ ойсаң ыз, жауапты келесі тұ жырымдарда аласыз;

– оң тайлы шешімге енген айнымалылар сол қ алпында қ алып жә не ө здерінің оң тайлы мә ндерін сақ тайтын жағ дайдағ ы қ орлар-дың ө су жә не кему аралығ ы, яғ ни мысалда, ең бек қ оры 200, шикізат шексіз жә не қ аржы 666, 67 бірлікке ө сіп, сә йкесінше 100, 1000 жә не 1578, 95 бірліктей азая алады.

Шекаралық бойынша есеп (1.16-сурет). Оң тайлы шешім қ ұ рамын сақ тай отырып, оң тайлы шешімге енген ө нім мө лшерін қ анша аралық қ а дейін ө згертуге болатыны туралы мә лімет осы есепте беріледі (суретті қ араң ыз):

– оң тайлы шешімдегі х_j шамалары;

– х_j шамаларының ө згеріс аралық тарының тө менгі шегі.

1.16-сурет

Шекаралық есепте, берілген ө німді ең тө менгі дең гейінде ө ндіргендегі мақ сат функция мә ні кө рсетілген. Мысалғ а, 80357, 14 мә н былай алынғ ан: Z = c ₁ x ₁+ c₃ x ₃ = 35·0 + 50·535, 71= 80357, 14289.

Сол сияқ ты ең жоғ арғ ы дең гейі бойынша: Z = c ₁ x ₁ + c₃ x ₃ = =135·250 + 150·535, 71 = 114107, 1429.

Сонымен, есептерде қ андай мә ліметтер берілгенін баяндауды аяқ тадық. Бірақ, бұ л тү сініктерден шешімді талдау толық бітпей-тінін тағ ы да ескертеміз. Тә жірибелік есептерді шешкенде толық талдау жасау барысында, бірнеше ө ндірістік сұ рақ тарғ а жауаптар алынады.

Қ орлар –шамаларының жә не мақ саттық – коэффи-циенттерінің ө згеріс ө сімі (кемуі) туралы талдау жә не шешім қ абылдау жө ніндегі ә рекеттерге кең ірек тоқ талайық.

Excel (1.15-сурет) есебіндегі бірінші кестеде Допустимое уменьшение деп аталатын бағ анадағ ы с ₁ – мақ саттық коэффи-циенттің тө менгі ө згеру шегі жә не Допустимое увеличение деп аталатын бағ анадағ ы оның жоғ арғ ы ө згеру шегі . Енді осы ө сімдерден с ₁ шамаларының шеткі мә ндеріне ө тетін болсақ, онда:

Сонымен, с ₁ мынадай ө згеру аралығ ында: ,

яғ ни 134, 82835 ≤ c ₁≤ 135, 71485, x ₁ ө німді 250 ө.б. шамасында ө ндіру бұ рынғ ыша тиімді. Тек, бұ л кезде мақ сат функция мә ні мына қ атынаста ө згереді:

Z_min = Z – x ₁ 114107, 1 – 250·0, 17165 = 114064, 18,

Z_max = Z + x ₁ 114107, 1 + 250·0, 71485 = 114285, 81.

Тура осындай тү рлендіруді басқ а с ₂, с ₃ жә не с ₄ жасасақ, онда

Мақ сат функция коэффициенттері шамаларының осы кө рсе-тілген шекараларында алғ ашқ ы шешімде анық талғ ан ө німдер мө л-шерлері бұ рынғ ы қ алпында қ ала береді.

Қ орлар ө згерісінің ә серін ең бек қ оры мысалында қ арасты-райық. Excel (1.15-сурет) есебіндегі екінші кестеде в ₁ – ең бек қ орының Допустимое уменьшение бағ анада тө менгі ө згеру шегі жә не Допустимое увеличение бағ анасында жоғ арғ ы ө згеру шегі Келтірілген ө сімдер бойынша в ₁ шама-ларының шеткі мә ндерін есептейік:

Сө йтіп, в ₁ ө згеру аралығ ы: , яғ ни 1500 ≤ ≤ в ₁≤ 1800.

Осындай в ₂ жә не в ₃ тү рлендіруден кейін, қ орлар шамалары-ның мынадай ө згеру шекарасы алынды:

Қ орлар шамаларының табылғ ан шекараларында оң тайлы шешім қ ұ рамы, яғ ни ө ндірілетін ө нім тү рлері ө згерусіз қ алады. Бірақ, олардың оң тайлы мә ндері ө згереді. Мысалғ а, оң тайлы шешімде алынғ ан (x ₁ жә не x ₃), ө ндірілетін ө німдердің жаң а (х _1ж жә не х _3ж) мә ндерін, сонымен қ атар мақ сат функция мә нін:

– ең бек қ орының минимальды шектік мә нінде

х _1ж = x ₁ – 2, 5 250 – 2, 5 · 100 = 0, 0;

х _3ж = x ₃ + 1, 785 536 + 1, 785 ·100 = 714, 5;

Z_min = Z – y ₁ 114107, 1 – 69, 64∙ 100=107142, 9 жә не

– ең бек қ орының максимальды шектік мә нінде

х _1ж = x ₁ + 2, 5 250 + 2, 5 · 200 = 750, 0;

х _3ж = x ₃ – 1, 785 536 – 1, 785 ·200 = 179, 0,

Z_max = Z + y ₁ 114107, 1 + 69, 64∙ 200=128035, 7

анық тауғ а болады.

Осындай есептеулерді в ₃ – қ аржы қ орына да жү ргізейік.

– қ аржы қ орының минимальды шектік мә нінде

х _1ж = x ₁ + 0, 375 250 + 0, 375 · 1578, 95 = 842, 1;

х _3ж = x ₃ – 0, 34 536 – 0, 34 ·1578, 95 = 0, 0;

Z_min = Z – y ₃ 114107, 1 – 0, 268∙ 1578, 95=113684, 2 жә не

– қ аржы қ орының максимальды шектік мә нінде

х _1ж = x ₁ – 0, 375 250 – 0, 375 · 666, 67 = 0, 0;

х _3ж = x ₃ + 0, 34 536 + 0, 34 ·666, 67 = 762, 0;

Z_max = Z + y ₃ 114107, 1 + 0, 268∙ 666, 67=114285, 7.

Осы жерде қ аржы шамасы кө бейген кезде пайданы макси-мальдау ү шін x ₁ ө німді ө ндіруді азайтып, керісінше x ₃ ө німді ө ндіруді кө бейту керектігін байқ аймыз. Неге? Жауап. x ₁ ө німнің бір бірлігіне кететін қ аржы шығ ыны x ₃ ө німге қ арағ анда 14 – 10 = 4 а.б. аз болғ анымен, 3-ші ө німнің бір бірлігінен тү сетін пайда 1-шіге қ арағ анда 150 – 135 = 15 а.б. артық (1.13-суретті қ араң ыз) жә не оның тиімділік ә сері 1-шіге қ арағ анда 15/4=3, 75 есе кө п. Сондық тан қ аржы кө бейген кезде 3-ші ө нім пайдалы жә не x ₃ мө лшерін кө бейту арқ ылы жалпы пайданы кө бейтуге болатынын жоғ арыда келтірген есептеулер кө рсетіп тұ р.

Математикалық модельдің кө мегімен қ аншама маң ызды сұ рақ тарғ а жауап алуғ а болатынынын кө рсету ү шін, жоғ арыдағ ы келтірілген мысалдардағ ы есептеулер жеткілікті деп ойлаймыз.

Кө птеген ә дебиеттерде соң ғ ы симплекстік кестенің кө мегі-мен, ешқ андай да кү рделі есептеулер жү ргізбей-ақ осындай жауап-тар алынуы мү мкін делінеді. Бірақ, мұ ндай тұ жырым, бү гінгі MS Excel мү мкіндігін ескерсек, біздің ойымызша онша дә йекті емес. Біріншіден, соң ғ ы симплекс кестені алу ү шін де қ ыруар есептеулер жү ргізу керектігі ә ркімге белгілі. Одан ештең е де ұ ту мү мкін емес. Екіншіден, соң ғ ы кестеде келтірілетін, мына кө рсеткіштерді: анық тауғ а қ ажет, базистік айныма-лылар коэффициенттерінен қ ұ ралатын матрицалардың кері матри-цасынан басқ а, мә ліметтердің барлығ ы да бізге белгілі. MS Excel кө мегін қ олданғ анда бізге кері матрица қ ажет емес, ө йткені аталғ ан жә не басқ ада ә рі қ арай талдау жасауғ а керекті кө рсеткіштерді, қ арастырылып отырғ ан шешім есептерінен (нә тиже, орнық тылық, шекаралығ ы) алуғ а болады. Осы есептерден мақ саттық коэффи-циенттерін жә не шектеулердің оң жақ тарын қ анша шамағ а кемітуге жә не ө сіруге болатынын, анық тап, олардың ө згеру шекараларын тауып, Excel-дің жұ мыс бетіне есептің кестелік моделін шақ ырып, табылғ ан шекара мә ндерін кезек-кезек тиісті ұ яларына жазып, Выполнить батырмасын іске қ оссақ, Поиск решения бізге жоғ арыда қ олмен есептелген барлық кө рсеткіштерді экранғ а «автоматты» тү рде шығ арады. Осыдан кейін кез-келген ө ндірістік сұ рақ тарғ а жауап беру ү шін, жан-жақ ты кең інен талдау жасай беруге, сө зсіз, мү мкіндік кө бірек туады.

Жоғ арыда қ осалқ ы жә не қ осымша қ осалқ ы айнымалылары туралы айтылғ анда, осы айнымалылар шамалары қ андай аралық -тарғ а дейін сенімді деген сұ рақ тарды жауапсыз қ алдырдық. Ұ ғ ымды, зейін қ ойып оқ ушы осы кезге дейін бұ л сұ рақ тың жауа-бын тапқ ан да болар. Дегенмен де, шектеулердің оң жағ ының – ө згеріс ө сімі (кемуі) y _i – қ осалқ ы айнымалылар шамаларының сенім аралық тары, ал мақ саттық коэффициенттердің – ө згеріс ө сімі (кемуі) v _j – қ осымша қ осалқ ы айнымалылар шамаларының сенім аралық тары екенін атап ө тейік.

Демек, негізгі кө рсеткіштер туралы біраз деректер алдық. Ө йткені Excel есептерінде келтірілетін кө рсеткіштер шамалары, қ айдан жә не қ алай есептелінетіні бізге тү сініксіз болатын.

Сонымен, ойшыл, іскер-кә сіпкерге керекті кейбір теориялық нұ сқ ауларды талқ ылауды осымен тә мамдаймыз.