Вычисление наращенных сумм на основе сложных декурсивных процентов

Лекция 3. Наращивание и дисконтирование по сложным процентным ставкам

3.1. Вычисление наращенных сумм на основе сложных процентных ставок.. 2

3.1.1 Вычисление наращенных сумм на основе сложных декурсивных процентов.. 2

3.1.2. Вычисление наращенных сумм на основе сложных антисипативных процентов.. 12

3.2. Дисконтирование по сложным процентам ставкам.. 14

3.2.1. Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке. 14

3.2.2. Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке. 17

Основные понятия и термины

Вычисление наращенных сумм на основе сложных процентных ставок

В финансовой практике широко используются сложные процен­ты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Процесс наращения ка­питала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Способ вычисления процентных платежей по сложным процентам иногда называется вычислением «процента на процент». Механизм наращения первоначальной суммы (капита­ла) по сложным процентам называют капитализацией.

Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.

Также как и при вычислении простых процентов, существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный (предварительный, авансовый) и декурсивный (последующий, обычный).

Рассмотрим декурсивный метод расчета сложных процентов.

Вычисление наращенных сумм на основе сложных декурсивных процентов

Пусть начисление процентов на первоначаль­ную сумму производится в конце периода наращения.

Величину первоначальной суммы (капитала), на которую начис­ляются проценты, т.е. текущую стоимость капитала, обозначим PV. Сумму, полученную в результате начисления сложных процентов на текущую стоимость, будем называть наращенной суммой или конечной стоимостью капитала FV.

Процентную ставку и срок ссуды обозначим соответственно i_с и n.

Тогда наращенная сумма FV за n лет при начислении сложных процентов по ставке i_с, можно определить по формуле (1):

(1)

где (1 + i_с) ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов;

n -число лет (период начисления в годах).

Значения этого множителя для целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов (приложение 3.). Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Задача 1. Какого размера достигнет долг, равный 1 млн р., через 5 лет при росте по сложной процентной ставке 15, 5 % годовых?

Решение: По данным условия: PV= _____________-; i_с = ________; n = ______лет.

Через n лет сумма долга с процентами составит

FV =

При этом будут начислены проценты в сумме:

I =

Ответ. Долг составит _________________ р.

Задача 2. Вкладчик внес в банк 5000 руб. под 12% годовых (проценты сложные). Определите наращенную сумму через 2 года.

Решение:

Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисления одна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

ü для срока меньше года простые проценты больше сложных:

ü для срока больше года

ü для срока 1 год множители наращения равны друг другу.

Эти различия можно проследить по таблице 1 и рисунку 1.

Таблица 1.

Сравнение множителей наращения

(i_пр=i_с=15%)

Множители наращения[1]	Срок ссуды
30 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет	20 лет
	1.0125	1.0750	1.15	1.750	2.5	4.0
	1.0117	1.0724	1.15	2.0114	4.0456	16.366

Рисунок 1. Соотношение множителей наращения по простым и сложным процентам

Задача 3. Какие проценты - простые или сложные - выгоднее с точки зрения инвестора применять в краткосрочных финансовых операциях? Какие - в долгосрочных?

Используя коэффициент наращения по простым и сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что бы коэффициенты наращения были равны величине n:

ü для простых процентов

(2)

ü для сложных процентов

(3)

Формулы для удвоения капитала имеют вид:

а)

(4)

б)

(5)

Задача 4. Определить время, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза. Используя простую и сложную процентную ставку равную 10% годовых.

Решение:

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчи­тать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной про­центной ставки.

Правило «72»:

(6)

Правило «69» (более точное):

(7)

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях ic(%). До ic (%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, на­пример, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5, 2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом ic. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.

Задача 5. Найдем срок удвоения капитала при годо­вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (4-5) и по правилам «69» и «72».

Решение:

а) ставка 20%

, или

, или

.

б) ставка 110%

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, который называется точный или общий метод, расчет ведется по формуле (8):

(8)

Второй, смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

(9)

где n=a+b – период сделки (срок ссуды);

а - целое число лет,

b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для n < 1 справедливо соотношение

Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

Как правило, в реальной бан­ковской практике используют смешанный метод для финансовых вычислений.

Задача 6. Клиент внес в банк 2, 5 тыс. руб. под 9, 5% годовых. Через 2 года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную сумму 2 способами.

Решение

1)

2)

Задача 7. Кредит в размере 300 тыс. р. выдан на 3 года и 160 дней под сложную годовую процентную ставку 16, 5 %. Проценты точные. Опреде­лите сумму долга на конец срока двумя методами.

Решение. Согласно условию: PV= ____________ р.; i _____________; k= 365 дней;

Точный метод:

FV =

Смешанный метод:

FV =

Задача 8. Какой из двух методов наращения по сложным процентам - точный или смешанный - выгоднее для кредитора? Для заем­щика?

Переменные процентные ставки. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модер­низировать «классическую» схему, например, с помощью приме­нения изменяющихся во времени процентных ставок. В частно­сти, в контракте может быть предусмотрено применение плава­ющих ставок, когда фиксируют не саму ставку, а ее базовое зна­чение и маржу (margin) —- надбавку к базовому значению. Мар­жа в течение срока финансовой сделки может быть постоянной либо переменной, что определяется условиями контракта.

В случае если значения переменных ставок фиксируют в контракте, общий множитель наращения определяют как произведение частных множителей:

(10)

где i₁, i₂,... i_k - последовательные во времени значения ставок;

n₁, n₂,... n_k – периоды, в течение которых используют соответ­ствующие ставки.

Задача 9. Ссуда в размере 1 млн р. выдана на 5 лет под 12 % годовых; кроме того, маржа составляет 0, 5 % в первые два года и 0, 75 % в оставшие­ся. Определите наращенную сумму долга.

Решение. Согласно условию: PV= _____________ р.; n __________ лет;

i₁ =0, 12 + 0, 005 = __________; n₁ = _______ года;

i₂ = ________________________; n₂ = _______ года.

Определим наращенную сумму долга:

FV =

Задача 10. В каких случаях для наращения по сложным процентам применяют переменные процентные ставки?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 11. Что означает термин «плавающие процентные ставки»

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Наращение процентов m раз в году. Иногда в финансовых операциях в качестве периода нараще­ния процентов используют не год, а, например, полугодие, квар­тал, месяц или другой период времени. В этом случае проценты начисляют m раз в году. В контрактах, как правило, фиксируют не ставку за процентный период, а годовую ставку процентов, кото­рую в этом случае называют номинальной.

Пусть годовая (номинальная) ставка равна j, срок финансовой операции n лет, число периодов начисления процентов в году равно m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m; число начислений при этом составит mn.

Формулу для расчета наращения в этом случае можно предста­вить следующим образом:

(11)

 

где j - номинальная годовая процентная ставка;

n - срок финан­совой операции;

m - число периодов начисления процентов в году;

mn - общее число периодов начисления процентов.

 

Задача 12. Какого размера достигнет долг, равный 100 тыс. р., через пять лет при применении сложной процентной ставки 15, 5 % годовых, если проценты начисляют ежеквартально?

Решение. По данным условия: PV =_________________; n= ________ лет;

j = ________; m =__________.

Через 5 лет размер долга с процентами составит

FV =

Номинальная и эффективная процентные ставки. Номинальной называют процентную ставку, используемую для расчетов, для фиксирования в договорах.

Эффективная процентная ставка измеряет тот реальный от­носительный доход, который получают в целом за год от начисле­ния процентов. Иначе говоря, эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Если номинальная годовая ставка равна j, а сложные процен­ты начисляют m раз в год по ставке j/m, то эффективная годовая ставка f может быть определена по формуле (10):

(12)

Предположим, что по требованию клиента банк начисляет проценты ежеквартально, хотя в договоре указана годовая про­центная ставка j = 12%.

Если проценты начисляют ежеквартально, то число начисле­ний в год m = 4 и начисление каждый раз будет производиться по ставке j/m. В данном случае

тогда за год множитель наращения составит

Таким образом, фактически годовая ставка наращения соста­вит 12, 55%. В этом случае говорят, что эффективная ставка f со­ставляет 12, 55%, а объявленная номинальная ставка j = 12%.

Задача 13. Найдите эффективную процентную ставку, если номиналь­ная ставка равна 24 % при ежемесячном начислении процентов.

Решение. Согласно условию: j = ____________; m = __________.

По формуле (9) находим

f=

Задача 14. Что происходит с наращенной суммой, если растет частота начисления сложных процентов? Чем эта ситуация отличает­ся от случая простых процентов?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 15. Какую процентную ставку называют эффективной? Каков ее экономический смысл?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 16. Какие годовые процентные ставки - номинальные или эффек­тивные - целесообразно использовать в качестве показате­лей для сравнения финансовых контрактов?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача17. Каким образом происходит переход от дискретных процентов к непрерывным?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________