Вычисление наращенных сумм на основе обычных процентных ставок

Основные понятия и термины

Наращенная сумма ссуды

Период начисления

Интервал начисления

Множитель (коэффициент) наращения

Дисконтирование

Компаудинг

Антисипативный метод начисления процетов

Дисконтирование по учетной ставке

Дисконт

Дисконтирование в широком смысле

Оптимум потребителя

Поведения рационального потребителя

Предельная норма замещения

Предельная полезность

Товар Гиффена

Эффект замены

Эффект дохода

Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок

Вычисление наращенных сумм на основе обычных процентных ставок

Под наращенной суммой ссуды (FV) (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают перво­начальную ее сумму с начисленными процентами к концу сро­ка начисления.

Период начисления - промежуток времени, за который начисляются проценты.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Наращенная сумма оп­ределяется умножением первоначальной суммы долга (PV) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий на­ращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периоди­чески выплачиваются.

Наращенная денежная сумма за счет начисле­ния простых процентов за n процентных периодов времени мо­жет быть рассчитана по формуле (1):

(1)

где FV - наращенная сумма;

PV - первоначальная денежная величина суммы;

n - продолжительность периода начисления в годах;

i - простая годовая ставка ссудного процента;

Формулой (1) можно воспользоваться, например, для исчис­ления суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты, для расчета размера срочного вклада с процентами и пр.

Множитель называют множителем наращения простых декурсивных процентов. Он показывает, во сколько раз увеличилась сумма вклада (или долга) к концу срока финансовой операции.

Начисленная процентная денежная сумма I может быть определена по формуле

I = FV - PV.

Задача 1. Банк выдал ссуду 50 000руб. под 19% годовых сроком на полтора года. Проценты простые. Определите, какую сумму предприниматель должен вернуть, если долг с процентами будет погашен единовременным платежом в конце срока. Какую сумму составят процентные деньги?

Решение:

Согласно условиям имеем: PV=; i=; n=;

Сумма долга с процентами составит

=

Сумма процентных денег

I = FV – PV=

Задача 2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 16%, чтобы эта сумма удвоилась?

Решение:

При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом, т. е. как отношения числа дней функционирования сделки к числу дней в году:

где t– число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);

k– временная база (число дней в году).

В этом случае формула (1) примет вид:

(2)

Различают три метода процентных расчетов, которые зависят от выбранного периода начисления:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды («английская практика»). При этом методе определяется фактическое число дней t между двумя датами (датой получения и погашения кредита), продолжительность года принимается равной k = 365 (366) дней.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («французская практика»). Величина t рассчитывается, как и в предыдущем случае; продолжительность года k = 360 дней.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («германская практика»). Величина t определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения, и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года k = 360 дней.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице в приложении 1-2.

Задача 3. Предпринимателю 26 января была предоставлена ссуда в размере 200 тыс. р. с погашением 15 июля того же года под годовую процентную ставку 19%. Рассчитайте различными спосо­бами сумму к погашению, если начисляют простые проценты и год невисокосный.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы PV, которая в будущем должна составить заданную величину FV. В этом случае PV называется текущей (настоящей, современной, приведенной) величиной суммы FV.

Определение современной величины PV наращенной суммы FV называется дисконтированием

Определение величины наращенной суммы FV – компаундингом.

Задача 4. Выведите из формул 1-2 значение величин PV, n, t, i.

В условиях динамично меняющегося состояния финансового рынка при заключении финансового соглашения может быть ус­тановлена не только постоянная на весь период финансовой сделки процентная ставка, но и переменная, изменяющаяся во времени.

Предположим, что в течение периода времени n₁ установлена ставка простых процентов i₁, тогда приращение капитала за этот период составит . Если в течение периода времени n₂ дей­ствует ставка простых процентов i₂, то начисленные за этот пери­од проценты составят .

При N интервалах наращенную сумму определяют по формуле:

	(8)
	(9)

где К_Н – коэффициент наращивания.

Задача 5. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по сроч­ному годовому депозиту: первое полугодие процентная ставка 12 % годо­вых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 2, 5 %. Проценты начисляют только на первоначально внесенную сумму вклада. Определи­те наращенную за год сумму, если вкладчик поместил в банк на этих усло­виях 400 тыс. р.

Решение. Согласно условию имеем: PV =;

n1 =; i1 =;

n2 =; i2 =;

n3 =; i3 =.

Наращенная за год сумма составит

FV =

Ответ. Наращенная за год сумма равна _________________.

На практике, может возникнуть необходимость рассчитать сумму начисленных процентов при изменении сумм депозита во времени. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на кото­рую начисляются проценты, изменяет свою величину во време­ни (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.).

В этом случае начисленные проценты (I) за весь срок равны:

(10)

где Rj - остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств;

n_j - срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следу­ющий способ, основанный на преобразовании (10). Для этого измеряются интервалы между моментами изменений величины ос­татка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше).

После чего получим:

(11)

где К - число дней в году;

tj - срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину называют процентным числом (interest number), а делитель - процентным (или постоянным) делителем (interest divisor).

Задача 6. Движение средств на счете характеризуется следую­щими данными: 05.02 поступило 12 млн руб., 10.07 снято 4 млн руб. и 20.10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Решение: Процентный делитель составит _________________________________

Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Сумма процентов за весь срок равна ___________________________________

Реинвестирование по простым ставкам. Если по прошествии некоторого периода зафиксированная к данному моменту наращенная сумма инвестируется вновь, то та­кую операцию называют реинвестированием (повторным инвес­тированием), или капитализацией, полученных на каждом этапе наращения средств. В этом случае проценты начисляют на нара­щенные в предыдущем периоде суммы, т. е. происходит многора­зовое наращение.

Предположим, что в течение периода времени n₁ установлена ставка простых процентов i₁, тогда к концу этого периода наращен­ная сумма составит . Затем эта сумма будет помещена на следующий срок n₂ под ставку простых процентов i₂. К концу периода n₂ наращенная сумма будет равна и т.д.

Таким образом, итоговую наращенную сумму можно определить по формуле:

(12)

где m –количество повторений реинвестирования.

Задача 7. Клиент поместил в банк 500 тыс. р. Какова будет наращен­ная за три месяца сумма вклада, если за 1-й месяц начисляют проценты в размере 10 % годовых, а каждый последующий месяц процентная ставка возрастает на 5 % с одновременной капитализацией процентного дохода?

Решение. Согласно условию имеем: PV=; t₁=t₂=t₃=1 мес.;; i1 =;

i2 =; i3 =.

FV=

Ответ. Наращенная сумма вклада _________________.