Приклади розв’язування задач.

Приклад 2.1. В закритій посудині знаходиться газ, молярна маса якого m =32 кг/кмоль, тиск Р =10⁷ Па. Визначити питому густину r цього газу, концентрацію молекул n₀, якщо при нагріванні посудини з газом до температури 100⁰ тиск зростає до Р₁ =2× 10⁷ Па.

Розв’язування. З рівняння стану ідеального газу

2.1

знаходимо, що густина газу

.

2.2

Нагріваючи газ ізохорно (V=const), між тиском Р і Р₁ і температурами Т і Т+DТ встановлюєм наступну залежність (закон Шарля):

.

2.3

звідки

2.4

Тепер з (2.4) та (2.2), маємо

.

З основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

2.5

знаходимо

де k - стала Больцмана.

Перевіряємо розмірність:

.

Підставляємо числові значення величин і знаходимо

Приклад 2.2. Чому дорівнює молярна С _v і питома с_V теплоємності газової суміші, яку отримали з 1 моля одноатомного і 4 молів трьохатомного газу, якщо m₁=2 кг/кмоль, m₂=28 кг/кмоль.

Розв’язування. Визначимо молярну теплоємність С_v газової суміші. Нехай її маса m, а маси окремих компонент - m₁ i m₂. Щоб нагріти вказану суміш на DТ градусів, необхідно використати теплоту DQ:

2.7

де і - молярні теплоємності відповідних газових компонент: ;

Через молярну теплоємність С_v газової суміші DQ дорівнює:

2.8

де m - молярна маса суміші.

Порівнюючи (2.7) та (2.8), отримуємо:

2.10

звідки

,

2.11

де - число молів суміші.

Питома теплоємність

2.11

причому тут

Тоді з (2.11)

Проведемо розрахунок

Приклад 2.3. В циліндрі під поршнем знаходиться водень масою m =0, 02 кг при температурі Т₁ =300К. Водень спочатку розширився адіабатично, збільшивши свій об’єм в n₁ =5 разів, а потім ізотермічно стиснули так, що об’єм зменшився в n₂ =5 разів. Знайти кінцеву температуру і загальну роботу, яку виконав газ в цих процесах.

P 2 (Р2, V2, T2) 3 (Р3, V3, T3) 1 (Р1, V1, T1) V 5V1 V1 Дано m=2× 10-2 кг Т1=300 К n1=5 n2=5

T3-?; A -?

Розв’язування. Так як при ізотермічному процесі (перехід 2®3) температура постійна, то кінцевою температурою і буде Т₂, яку можна знайти з рівняння Пуасона (рівняння адіабати):

2.12

та рівняння Менделєєва-Клаперона

,

2.13

з яких отримуємо

2.14

Для газових станів (1, 2) це виглядає так:

2.15

Звідси

Так як

то

2.16

Враховуючи, що , одержимо

2.17

Робота, виконана газом при вказаних процесах чисельно рівна площі, заштрихованої на графіку фігури.

Підсумкова робота А дорівнює

де А₁, А₂ - відповідні роботи, що виконує газ при адіабатичному розширенні та ізотермічному стиску:

Тоді

Перевіримо розмірність:

Проведемо розрахунок:

.

Приклад 2.4. Лопнула мильна бульбашка радіусом r =5 см і утворилось 10 капель рідини. Кожна з капель має радіус r =0, 5 мм. На скільки градусів нагрілась рідина в каплях, якщо її питома теплоємність , а густина r=10³кг/м³.

Розв’язування. Мильна бульбашка має площу поверхневого шару рідини

2.22

так як мильна плівка має дві сферичні поверхні. Утворені капельки мають площу поверхневого шару S₂:

2.23

Значить зменшення DS площі поверхневого шару рідини таке:

,

2.24

а вивільнена при цьому енергія

,

2.25

де a - коефіцієнт поверхневого натягу рідини. Вивільнена енергія DЕ і пішла на нагрівання рідини:

,

2.26

тут

2.27

Враховуючи (2.25) і (2.26), маємо:

Звідси

.

Перевіримо розмірність:

і розрахуємо DТ: (a=40× 10^-3Дж/м²)

.

Приклад 2.5. Нагрівник теплової машини, що працює за циклом Карно, має температуру 200⁰С. Яка температура холодильника, якщо за рахунок кожного кілоджоуля теплоти, яка одержана від нагрівника, машина виконує 0, 4 кДж роботи.

Розв’язування. Температуру холодильника знайдемо, використавши вираз для ККД теплової машини, що працює за циклом Карно:

,

2.27

де Т₁ і Т₂ - відповідно абсолютні температури нагрівача та холодильника.

Звідси

2.28

Але ККД машини - це і відношення корисної роботи А, що виконала машина, до Q₁ - теплоти, що її отримала машина за цей час:

Скориставшись (2.27), матимемо:

Проведемо розрахунки:

Приклад 2.6. Знайти зміну ентропії при:

а) нагріванні 100г води від 0 до 100⁰С, після чого вода перетворюється в пару при тій же температурі;

б) ізотермічному розширенні 10г кисню від 25 до 100л;

в) ізобаричному нагріванні 10г кисню від 17⁰ до 100⁰С.