А). Энергетические критерии и параметры трещиностойкости

Среди основных энергетических критериев роста трещин выделяют критерии, полученные на основе глобального баланса энергии во всем напряженном твердом теле с трещиной и локального баланса или распределения энергии в области, окружающей вершину трещины.

К критериям первого типа относится максимальная скорость или ин­тенсивность высвобождения упругой энергии деформации (G-крите­рий), к критериям второго типа - минимальная плотность энергии деформации в окрестности вершины трещины (S-критерий) и макси­мальный поток энергии через произвольный замкнутый контур, окру­жающий вершину трещины (J-критерий). Критические значения пара­метров G, S и J, которые соответствуют началу роста тре­щин и могут быть экспериментально определены, обозначают G_c, S_c и J_c и рассматривают как энергетические параметры тре­щиностойкости материалов.

G -критерий и параметр трещиностойкости G_С. Введение G -критерия базируется на энергетической концепции Гриффита, в соот­ветствии с которой распространение трещины в изотермических усло­виях и при отсутствии влияния окружающей среды возможно, если на­копленная при деформировании линейно-упругого твердого тела упру­гая энергия достаточна для образования новых поверхностей при росте трещины. При удлинении трещины накопленная при деформирова­нии упругая энергия превращается в поверхностную энергию, т.е. высвобождается или уменьшается. Указанное условие энергетического баланса для твердого тела единичной толщины записывают в виде [7]:

где U - упругая энергия; W- энергия, необходимая для роста трещины; da- увеличение длины трещины.

Основываясь на расчетах поля напряжений для эллиптического от­верстия, выполненных Инглисом, Гриффит показал, что для бесконеч­ной пластины из однородного и изотропного линейно-упругого мате­риала, имеющей единичную толщину, содержащей центральную эллипти­ческую трещину длиной 2а и растягиваемой на бесконечности на­пряжением σ в направлении, перпендикулярном плоскости трещи­ны, величина dU/da равна

где Е - модуль упругости материала.

При этом предполагается, что удлинение трещины на величину daпроисходит в направлении ее первоначальной ориентации, т.е. тре­щина является себе подобной. Энергия, затрачиваемая на рост трещи­ны, равна

где γ _T - поверхностная энергия твердого тела.

Подставив (1.2) и (1.3) в (I.I), получаем хорошо известную фор­мулу Гриффита для предела прочности или разрушающего напряжения σ _с линейно-упругой изотропной пластины с дефектом:

При дальнейшем развитии механики трещин однородных и изотроп­ных линейно-упругих материалов было показано, что баланс энергии (I.I) имеет вид, не зависящий от типа нагружения (I, П или Ш) и I способа приложения внешних сил [7-9], и что интенсивность или, как иногда говорят, скорость высвобождения упругой энергии при удлинении трещины (dU/da) пропорциональна квадрату прило­женного напряжения σ, длине краевой или полудлине централь- ной острой трещины а и обратно пропорциональна модулю упругости Е для тел различной конфигурации и при любом из трех прос­тых типов нагружения. Величину dU/da было предложено обоз­начать G с индексами I, П или Ш в зависимости от типа нагружения и рассматривать как силу, движущую трещины в однородных и изотропных линейно-упругих материалах. В общем случае трещинодвижущие силы G_I, Gii и G_III равны [7-9]:

где Y - геометрический фактор, учитывающий форму и размеры тела (образца, элемента конструкции) и характер его нагружения; с - константа, учитывающая эффект Пуассона.

Формулы для расчета геометрического фактора Y тел различ­ной конфигурации приводятся в литературе [7-9, 16-19]. Константа с при плоском напряженном состоянии равна 1, при плоской де­формации и нагружении по типу I или П константа с = 1 - v², при нагружении по типу Ш константа с = 1 + v (v - коэффи­циент Пуассона).

Величину dW/da обозначают R и называют сопротивле­нием росту трещин. В случае однородных и изотропных линейно-упру­гих материалов постулируется, что сопротивление росту трещин R не зависит от длины трещины, направления ее распространения и рав­но 2 γ _T. Величина R=2 γ _T принимается за критическое значение интенсивности высвобождения упругой энергии деформации G_c:

и рассматривается как материальная константа, характеризующая трещиностойкость материала.

Графически G -критерий можно изобразить так, как это пока­зано на рис. 1.3, на котором.влево от оси абсцисс отложен началь­ный размер трещины а_о, а вправо - величина приращения длины трещины Δ а. По оси ординат отложены параметры G и R.

При заданном напряжении трещинодвижущая сила G пропорциональ­на длине трещины (см. формулу 1.5), и графически зависимости G от а при заданном σ представляют собой прямые ли­нии (АВ и ACD на рис. 1.3). При напряжении σ _{0 1}< σ _о трещинодвижущая сила G, достигнув предельной величины для данной длины трещины а_о, не может вызвать рост трещины, по­скольку G_b< R. При увеличении напряжения до σ _о2= σ _с трещинодвижущая сила, достигнув величины G_c= G₀ = R, инициирует распространение трещины.

Увеличение длины трещины при постоянном напряжении сь при­ведет к увеличению трещинодвижущей силы (линия CD на рис. 1.3), в то время как сопротивление росту трещины будет оставаться посто­янным, т.е. после инициирования роста трещины трещинодвижущая си­ла Gвсе время будет превышать сопротивление росту трещины, что обусловливает ее критическое распространение вплоть до окон­чательного разрушения материала. Следовательно, условием критичес­кого роста трещины в однородных и изотропных линейно-упругих ма­териалах является пересечение линий Gи я, а критерием роста является

Таким образом, при использовании G -критерия трещиностойкость однородных и изотропных линейно-уцругих материалов характе­ризуется величиной G_c, не зависящей от длины трещины, на­правления ее распространения и временных условий нагружения, т.е. являющейся материальной константой, которую можно либо определить экспериментально, либо рассчитать теоретически с учетом реального состава линейно-упругого материала как энергию, необходимую для преодоления сил сцепления всех атомов и молекул (химических и фи­зических связей), действующих в направлении, перпендикулярном плос­кости трещины [2, 4].

Впервые введенный для однородных и изотропных линейно-уцругих материалов G -критерий впоследствии был распространен на слу­чай однородных и изотропных псевдоуцругих материалов. При этом постулируется, что наличие небольшого локального объема пласти­чески деформированного материала вблизи вершины трещины не ока­зывает существенного влияния на интенсивность высвобождения упру­гой энергии деформации, а затраты энергии на образование новых поверхностей цри расширении трещины связаны главным образом с ра­ботой пластического деформирования материала, прилегающего к ее фронту [7-9]. Это позволило использовать параметр G для характеристики сил, движущих трещины в псевдоупругих материалах, и рассчитать его, как и в случае линейно-упругих материалов, по формуле (1.5). Выражение для сопротивления росту трещин представ­ляется цри этом в виде

где γ _F - удельная энергия роста трещин в псевдоупругих мате­риалах; γ _T - поверхностная энергия твердого тела; γ _пл - затраты энергии на развитие локальных мгновенных пластических де­формаций.

Исходя из этого G -критерий для однородных и изотропных псевдоупругих материалов записывают следующим образом:

По аналогии с линейно-упругими материалами в механике трещин однородных и изотропных псевдоупругих материалов постулируется, что параметр R не зависит от направления распространения тре­щины. Однако в случае псевдоупругих материалов как его величина, так и характер изменения с увеличением длины трещины могут резко различаться в зависимости от напряженно-деформированного состоя­ния. При этом учитывается, что вид напряженно-деформированного состояния псевдоупругого материала в окрестности вершины трещины определяет степень стеснения локальных пластических деформаций, а значит, и затраты энергии на пластическое деформирование.

Так, в условиях объемного напряженного состояния (плоской де­формации) степень стеснения локальных пластических деформаций ве­лика, а их вклад в сопротивление росту трещин псевдоупругих мате­риалов сравнительно мал и считается независимым от длины трещины, поэтому условия критического роста трещин в этом случае аналогич­ны таковым для линейно-упругих материалов и определяются пересе­чением линий G и R (см. рис. 1.3). Следовательно, крите­рием роста трещин является G> G_c= 2 γ _F.

В отличие от этого при плоском напряженном состоянии степень стеснения локальных пластических деформаций мала, и сопротивление росту трещин R, как предполагается, может уменьшаться или возрастать с увеличением длины трещины (рис. 1.4) в зависимости от того, происходит ли размягчение или упрочнение материала при его локальном пластическом деформировании перед разрывом.

При размягчении псевдоупругого материала в результате развития пластических деформаций, обусловливающем уменьшение R с увеличением длины трещины (см. рис. 1.4а), критический рост трещины также начинается при G≥ R, т.е. условие ее критического рос­та по-прежнему соответствует точке пересечения кривых G и R, а критерием роста является G= G_c.

Если локальная прочность материала увеличивается в процессе развития пластических деформаций, т.е. происходит его локальное деформационное упрочнение, то с увеличением длины начальной тре­щины сопротивление ее росту в условиях плоского напряженного сос­тояния должно возрастать (см. рис. 1.4, 6). При малом напряжении σ ₁ движущая сила, достигнув значения G_A, не может вызвать рост трещины, так как G_a < R. Если напряжение увеличить до некоторого значения σ ₂, то движущая сила, достигнув значения G_b, может вызвать распространение трещины. Однако, поскольку напряжение σ ₂ постоянно, то величина G при распростра­нении трещины изменялась бы вдоль линии BD, а эта линия лежит под R -кривой, поэтому трещина, сдвинувшись с места, сразу же останавливается. Для того чтобы происходил ее рост, необходимо увеличить напряжение. При увеличении напряжения до величины σ ₃может произойти подрастание трещины на величину Δ а₁, после чего она остановится, поскольку сопротивление росту трещины R превысит трещинодвижущую силу G_e (при σ = σ ₃ движущая сила с. увеличением длины трещины изменяется вдоль линии EF).

Наконец, при некотором критическом значении напряжения σ _с трещинодвижущая сила достигнет значения G_c и вызовет крити­ческий рост трещины, так как при этом напряжении с увеличением длины трещины G изменяется вдоль линии СН, а эта линия лежит выше R-кривой, т.е. с увеличением длины трещины величина G всегда превышает R. При этом условием начала крити­ческого роста трещины является равенство dG/da=dR/da, его критерием G=G_c, а параметры G_B и G_c служат энергетическими параметрами страгивания (начала докритического подрастания) исходной трещины и ее нестабильного (критического) роста соответственно.

Таким образом, в случае псевдоупругих материалов параметры трещиностойкости G_cмогут резко различаться в зависимости от напряженно-деформированного состояния, т.е. в отличие от ли­нейно-упругих материалов они не являются материальными констан­тами. Поэтому для характеристики трещиностойкости таких материа­лов необходимо экспериментально определять критическую интенсив­ность высвобождения уцругой энергии деформации как в случае плос­кой деформации, так и в случае плоского напряженного состояния.

Теоретическая оценка показателей трещиностойкости псевдоупру­гих материалов сопряжена с трудностями корректной оценки затрат энергии на развитие локальных пластических деформаций, поскольку заранее точно не известен объем материала, претерпевающего плас­тическое деформирование даже для плоского случая [4]. Предпола­гая, что толщина слоя пластически деформированного материала Δ и величина пластической деформации в нем ε _пл постоянны и не

зависят от размеров трещины, величину γ _пл можно приближенно оценить по формуле [4]

где σ _г - цредел текучести материала.

Анизотропия материалов» даже если они являются однородными и линейно-упругими, обусловливает определенные ограничения в приме­нимости G -критерия для оценки условий роста трещин. Это свя­зано прежде всего с неравномерным распределением напряжений и анизотропией упругости и сопротивления росту трещин в таких мате­риалах и, следовательно, большой вероятностью несебеподобного распространения трещин в направлении, отличном от направления их первоначальной ориентации при достижении критических условий.

При анализе сил G, движущих трещины в анизотропных материалах, обычно используют модель линейно-упругого однородного ортотропного тела, содержащего сквозную трещину, расположенную вдол! одной из главных осей упругой симметрии (рис. 1.5) [20-24]. При этом объектом анализа является ортотропный материал, имеющий не­большую толщину и характеризуемый четырьмя независимыми упругими постоянными: модулями упругости Е_х и Е_у (Е_х> Е_у), модулем сдвига μ _ху и коэффициентом Пуассона v _xy.

Расчет трещинодвижущих сил G проводят с применением тео­рии упругости анизотропных сред в предположении, что при достиже­нии критических условий развитие трещины является себеподобным и происходит в направлении, ортогональном одной из плоскостей упру­гой симметрии. Доказывается, что по аналогии с однородными и изо­тропными линейно-упругими материалами силы G, движущие трещи­ны в однородных анизотропных линейно-уцругих материалах пропор­циональны квадрату приложенного напряжения σ и длине трещи­ны а и обратно пропорциональны эффективному модулю упругости Е_эф[2I]:

где Y - геометрический фактор.

Эффективный модуль упругости Е_эф однородного ортотропного линейно-упругого материала связан с упругими константами b_ij, входящими в обобщенный закон Гука (ε _i= b_ijσ _j), следующими соотношениями [20-22]:

при нагружении по типу I

Геометрический фактор Y, входящий в формулу (I.11) для расчета сил G, движущих трещины в однородных ортотропных линейно-упругих материалах, в принципе отличается по величине от такового для изотропного случая вследствие различий во взаимодействии вершины трещины с наружными кромками тел из анизотропного и изо­тропного материалов. Однако в механике трещин показано [23, 24],, что это различие невелико и, например, в случае тонких плоских пластин с центральным или двумя боковыми надрезами составляет всего 0, 5-16, 5%.

Сопротивление росту трещин однородных ортотропных линейно-уп­ругих материалов, как предполагается, резко зависит от направле­ния ориентации трещины по отношению к осям упругой симметрии. Так, для ортотропных материалов, модуль упругости которых в продольном 1 направлении (вдоль оси х, см. рис. 1.5) больше, чем в трансверсальном направлении (вдоль оси y), т.е. Е_Х^> Е_У, со противление росту трещин максимально в трансзерсальном направле- jнии и минимально в продольном направлении, т.е. R_X^< R_V [22].

В механике трещин постулируется, что рост трещин в однородных ортотропных линейно-упругих материалах возможен, если трещинодвижущая сила G достигает или превышает сопротивление материала росту трещин R= G_c в направлении их первоначальной ориентации. В соответствии с этим G-критерий роста трещин для таких материалов записывают в виде:

для трещин, ориентированных в направлении оси х (продольные трещины)

где θ - угол между направлением ориентации начальной трещины и траекторией ее критического распространения.

Из выражений (I.13) и (I.14)следует, что G-критерий применим к однородным ортотропным линейно-уцругим материалам, если jпри достижении критических условий направление распространения трещины совпадает с направлением ее первоначальной ориентации (себеподобные трещины). При этом параметры трещиностойкости ортотропных материалов резко зависят от направления ориентации трещины относительно главных осей упругой симметрии, причем параметры трещи­ностойкости G_С^х < G_С^у, т.к. R_х< R_у.

В механике показано [20-21], что в случае реальных ор­тотропных материалов себеподобное распространение трещин наиболее легко реализуется для продольных трещин, так как направление их ориен­тации совпадает с направлением минимального сопротивления орто- тропного материала росту трещин. В тех же случаях, когда ортотропный материал содержит трансверсальные трещины или трещины, ориентированные под произвольным углом к продольному направлению материала, при достижении критических условий себеподобное рас­пространение трещин является скорее исключением, чем правилом, и реализуется только при определенном соотношении продольного и трансверсального сопротивлений материала росту трещин. Это связа­но прежде всего с тем, что при нагружении ортотропных материалов, содержащих трансверсальные или ориентированные под произвольным углом трещины, даже по одному из простых типов перемещения в их вершинах оказываются смешанного типа.

Например, при нагружении ортотропных материалов с такими тре­щинами по типу I происходит как раскрытие берегов трещин, так и их относительное скольжение, т.е, перемещения в вершинах трещин являются смешанного типа I-II. Предполагается [21, 25], что в этом случае суммарная трещинодвижущая сила G равна

а рост трещины возможен, когда критического значения достигает не­которая комбинация величин G_I и GII.

Если при этом

то критический рост трансверсальной трещины происходит в направлении ее первоначальной ориентации.

Если же

(1.17)

то происходит расщепление ортотропного материала в продольном на­правлении от вершины трансверсальной трещины (рис. 1.6) [26J. Величина зоны расщепления зависит от степени анизотропии материа­ла, исходной длины трансверсальной трещины (а), прочности при растяжении ортотропного материала в продольном направлении (σ _х) и при сдвиге в плоскости (σ _ху) [27]:

(1.18)

В I.19 μ _ху- модуль сдвига; v _xy- коэффициент Пуассона; е_х и Е_у - модули упругости при растяжении в продольном и трансверсальном направлениях соответственно.

Из выражения (I.18) следует, что зона расщепления ортотропно­го материала в продольном направлении тем больше, чем больше ис­ходная длина трансверсальной трещины и меньше сдвиговая прочность материала в плоскости. Кроме того, из выражений (I.I8) и (I.I9) следует, что вероятность расщепления увеличивается с уменьшением модуля упругости ортотропного материала в продольном направлении. Очевидно, что если при нагружении ортотропного материала с транс­версальной трещиной происходит его расщепление, а не распростра­нение трещины в направлении ее первоначальной ориентации, то ве­личина G_c не может служить характеристикой трещиностойкости такого материала в трансверсальной направлении.

Таким образом, G-критерий применим к однородным анизотроп­ным линейно-упругим материалам, если при достижении критических условий наблюдается себеподобное распространение трещины. Показа­тели G_c, определеннее экспериментально при выполнении этого условия, могут быть использованы для характеристики.трещиностой­кости таких материалов. Однако в отличие от изотропных материалов в случае однородных анизотропных линейно-упругих материалов пара­метр G_c не является материальной константой и резко зависит от направления ориентации трещины по отношению к главным осям уп­ругой симметрии. Поэтому для корректной характеристики трещино­стойкости таких материалов параметры G_c необходимо определять как в продольном, так и в трансверсальном направлениях и под различным углами к главным осям упругой симметрии. Если при экспериментальном определении параметров G_cкри­тическое распространение трещины не является себеподобным, то па- рамметр G_cне может быть использован для характеристики тре­щиностойкости ортотропного материала, так как G-критерий не предусматривает возможности распространения трещины под произволь­ным углом к направлению ее первоначальной ориентации, а интенсив­ность высвобождения энергии деформации резко зависит от направле­ния прироста трещины [28]„Рледовательно, G-критерий не цри- меним в тех случаях, когда цри достижении критических условий распространение трещины в ортотропном материале не является себе­подобным. Очевидно, что аналогичные представления относятся и к псевдоупругим анизотропным гомогенным материалам. G-критерий часто используют для оценки условий начала рос­та трещин не только в гомогенных, но и в гетерогенных линейно- или псевдоупругих материалах. В этом случае корректность харак­теристики трещиностойкости с помощью параметра G_cво многом зависит от типа фазовой структуры, объемного соотношения и свойств фаз, прочности их адгезионного сцепления на границе раз­дела, определяющих характер распространения трещин в гетерогенных материалах после достижения критических условий.

Введение G-критерия применительно к гетерогенным изотроп­ным линейно- и псевдоупругим материалам обычно базируется на предположении о том, что гетерогенный материал можно рассматри­вать как квазиоднородную сплошную среду - континуум, наделенный некоторами новыми свойствами, зависящими от свойств и объемного соотношения компонентов, входящих в состав гетерогенного материа­ла. Это позволяет проводить расчет сил G, движущих трещины в гетерогенных материалах, по той же формуле (1.5), что и в слу­чае однородных изотропных линейно- и псевдоупругих материалов, с использованием эффективного значения модуля упругости Е*, ха­рактерного для квазиоднородного континуума, моделирующего гетеро­генный материал:

При этом эффективное значение модуля упругости Е* квазиод­нородного континуума рассчитывают по известным модулям упругости и объемному соотношению фаз гетерогенного материала, например, по правилу аддитивности [29].

Континуальный подход предполагает, что сопротивление росту трещин гетерогенных изотропных линейно- и псевдоупругих материа­лов, по аналогии с гомогенными, не зависит от длины исходной тре­щины, направления ее распространения и определяется некоторой ус­редненной величиной, учитывающей сопротивление росту трещин в от­дельных фазах:

где R₁ и R₂ - сопротивление росту трещин фаз 1 и 2 соответ­ственно; φ ₁ и φ ₂- их объемные доли.

С учетом (I.20) и (I.2I) энергетический G-критерий роста трещин в гетерогенных изотропных линейно-упругих материалах за­писывают в виде

Параметр G_c, который, как предполагается, может быть легко определен экспериментально, рассматривают как характеристику тре­щиностойкости гетерогенного материала.

Многочисленные экспериментальные исследования механизма роста трещин и трещиностойкости реальных гетерогенных изотропных мате­риалов с различной фазовой структурой, свойствами и объемным со­отношением фаз свидетельствуют о том, что G-критерий, постро­енный в соответствии с континуальным подходом, не позволяет адек­ватно описать условия начала роста трещин в таких материалах. Это связано прежде всего с тем, что континуальный подход игнорирует неоднородность состава, различие в упругих характеристиках отдель­ных элементов объема материала, наличие в нем четко выраженных фа­зовых границ, т.е. свойства, внутренне присущие любому гетероген­ному материалу.

Очевидно, что в реальных гетерогенных материалах вершина тре­щины может располагаться либо в одной фазе, либо в другой, либо на границе раздела между ними. В зависимости от этого распределе­ние напряжений в окрестности вершины трещины может быть резко различным [21, ЗО-ЗЗ]. Пренебрежение этим при оценке трещино­движущих сил G может приводить к существенным погрешностям, особенно в случае гетерогенных материалов со структурой взаимо­проникающих фаз, резко отличающихся по своим упругим свойствам и имеющих протяженную границу раздела. Для корректного расчета сил G, движущих трещины в гетерогенных материалах, необходимо учи­тывать микроструктуру полей напряжений в пределах периодически повторяющегося элемента гетерогенной среды. В настоящее время та­кие расчеты выполнены для ряда простых гетерогенных сред [21, 34, 35], но полученные при этом результаты не нашли пока широко­го практического применения и должного экспериментального под­тверждения.

Сопротивление росту трещин реальных гетерогенных материалов в подавляющем большинстве случаев также резко отлично от такового, постулируемого моделью квазиоднородного континуума. Это связано прежде всего с тем, что в реальных гетерогенных материалах сво­бодная поверхность при распространении трещины может образовы­ваться не только в отдельных фазах, но и на границе раздела меж­ду ними. Кроме того, отдельные фазы гетерогенного материала могут оказывать взаимное влияние на сопротивление росту трещин в них, а нарушение адгезионного сцепления между фазами может обусловли­вать развитие ряда дополнительных микромеханических процессов, не всегда сопровождающихся образованием новых поверхностей, но требующих определенных затрат энергии и, следовательно, вносящих свой вклад в сопротивление гетерогенного материала росту трещин.

Исходя из этого, становится очевидным, что сопротивление росту трещин реальных гетерогенных материалов зависит от значительно большего числа факторов, чем это учитывает континуальная модель [см. формулу (I.2I)], и в общем случае равно [1, 13, 14, 22, 26]

где R, - затраты энергии на отдельные микромеханические про­цессы, развивающиеся в вершинах трещины и предшествующие и/или сопутствующие ее распространению в гетерогенном материале»

Тип, последовательность и интенсивность отдельных микромехани­ческих процессов завиcит от фазовой структуры гетерогенного мате­риала, свойств и объемного соотношения фаз, прочности их адге­зионного сцепления на границе раздела (см.гл. 4). Следует также отметить, что в отличие от постулатов модели квазиоднородного континуума, сопротивление росту трещин многих реальных гетерогенных материалов существенным образом зависит от длины трещины, поскольку тип, интенсивность и последовательность микромеханических про­цессов, развивающихся в вершинах трещины до ее страгивания с мес­та, могут резко отличаться от таковых при распространении трещины [36-39].

Таким образом, G-критерий, построенный в соответствии с континуальным подходом, не учитывающим специфику гетерогенных ма­териалов (неоднородность состава, наличие резко выраженных границ раздела между фазами и т.д.), вообще говоря, не может быть ис­пользован для кооректной оценки условий начала роста трещин и характеристики трещиностойкости реальных гетерогенных линейно- и псевдоупругих материалов. Для адекватного описания условий роста трещин в таких материалах необходимо проводить анализ трещинодвижущих сил G и сопротивления росту трещин R на уровне компонентов, входящих в состав гетерогенного материала, с учетом его конкретной фазовой структуры. Однако, поскольку построение модели, учитывающей особенности гетерогенных материалов, сопряжено с определенными теоретическими трудностями, которые до сих пор еще не преодолены, в настоящее время на практике находит широкое применение эмпиричес­кий подход, предполагающий, что трещинодвижущие силы могут быть рассчитаны по формулам, полученным исходя из континуальной моде­ли, а сопротивление росту трещин - с учетом фактических затрат энергии на отдельные микромеханические процессы, развивающиеся вблизи вершины трещины.

Экспериментально определенные значения параметра G_c, соот­ветствующие началу быстрого распространения трещины в данном ге­терогенном материале, принимаются за эффективные характеристики его трещиностойкости. Следует, однако, отметить, что определенные таким образом значения G_c могут быть значительно меньше той энергии, которую необходимо затратить на распространение трещины после достижения критических условий, т.е. после ее страгивания. Поэтому при использовании эмпирического подхода для достоверной оценки трещиностойкости гетерогенных материалов необходимо уде­лять особое внимание корректной интерпретации полученных экспери­ментальных данных [39, 40].

S-критерий и параметр трещиностойкости S_c. Введение S-критерия, впервые сформулированного Си, базируется на концепции плотности энергии деформации. В теории упругости под плотностью энергии деформации понимают удельную величину, характеризующую энергию деформации материала в единице объема. Она может отли­чаться при переходе от одного элемента деформированного материа­ла к другому. Поэтому для характеристики суммарной энергии, запа­саемой материалом при его деформировании в изотермических услови­ях и при отсутствии действия окружающей среды, используют функцию плотности энергии деформации [41]:

где σ _jj, ε _jj- компоненты напряжений и деформаций соответст­венно.

Для линейно- и псевдоупругих материалов функция плотности энергии деформации связана с главными напряжениями σ ₁, σ ₂ и σ ₃, кэффициентом Пуассона v и модулем упругости Е соотношением [42]

где W_v - энергия дилатации единицы объема (энергия упругого из­менения объема); W_d - энергия дисторсии единицы объема (энер­гия упругого изменения формы). Величину плотности энергии деформации, при которой происходит разрушение материала, называют критической (W_c). Критическая плотность энергии деформации рассматривается как материальная кон­станта, связанная с прочностью межатомных связей и не зависящая от условий нагружения. Величина W_c может быть определена экс­периментально по площади под диаграммой деформирования материала в координатах истинное напряжение - истинная деформация, получен­ной при испытаниях стандартных образцов на одноосное растяжение:

где ε _с - критическая деформация (предельная относительная де- формация цри разрыве). Си [42-49] применил концепцию плотности энергии деформации для локального анализа энергетического поля вблизи вершины трещи­ны, ввел понятие коэффициента плотности энергии деформации S и показал, каким образом параметр S может быть использован для характеристики трещиностойкости материалов. Модель Си учитывает, что поведение реальных материалов в некоторой области, непосред­ственно прилегающей к вершине трещины, не может быть корректно описано с помощью математического аппарата механики сплошной сре­да» поскольку в этой области материал сильно напряжен и претерпе­вает интенсивное деформирование, сопровождающееся накоплением повреждений, и, следовательно, потерей сплошности и однородности. Исходя из этого, вводится понятие ядра трещины - внутренней области, окружающей вершину трещины, за пределами которой поле напряжений может быть адекватно описано с позиций континуальной механики. Предполагается, что ядро имеет форму сферы для прост­ранственных трещин и форму круга для плоских трещин (см. рис. 1.7), а его радиус г₀ не зависит от типа нагружения и геометрических | особенностей вершины трещины и может служить характеристикой ма­териала.

На основе анализа энергетического состояния индивидуаль­ных элементов (блоков), расположенных за пределами ядра трещины в напряженном материале, доказывается, что локальная плотность энер­гетического поля максимальна на границе ядра трещины и убывает пропорционально радиальному расстоянию г от ее вершины (рис. 1.8):

Коэффициент пропорциональности Sв выражении (1.28) назы­вают коэффициентом плотности энергии деформации.

Он зависит от упругих свойств материала и полярного угла 8 и характеризует плотность энергии деформации на некотором малом фиксированном радиальном расстоянии г от вершины трещины. В модели Си коэффи­циент плотности энергии деформации используется в качестве крите­риальной величины при формулировании критерия роста трещин. При этом постулируется [43, 44, 47], что инициирование роста трещи­ны происходит в направлении, вдоль которого плотность энергии де­формации минимальна, а нестабильное (критическое) распространение трещины возможно, когда минимальный коэффициент плотности энергии деформации S_minдостигает критического значения S_c. Анали­тически S-критерий роста трещин записывают следующим образом:

где θ ₀ - угол между направлениями ориентации трещины и ее кри­тического распространения.

Из выражений (1.29) и (1.30) следует, что в модели Си параметр S играет двоякую роль [43]. С одной стороны, он характеризует сопротивление материала росту трещин в том смысле, что распростра­нение трещин наиболее вероятно в направлении минимального сопро­тивления (минимальной плотности энергии деформации). С другой стороны, достигнув своего критического значения, параметр S ста­новится характеристикой силы, заставляющей трещину распространять­ся, т.е. выступает в качестве трещинодвижущей силы. Критическое значение коэффициента плотности энергии деформации S_c рассмат­ривается как материальная константа, характеризующая трещиностойкость материала. При этом предполагается, что величина S_c не зависит от типа нагружения и конфигурации трещины.В механике трещин показано [43, 44, 47, 49, 50], что S-кри­терий применим к однородным и изотропным линейно- и псевдоупругим материалам с трещинами любого из трех простых типов (I, II и III). Используя параметр S, являющийся мерой интенсивности локально­го поля плотности энергии деформации при вершинах трещин, можно не только определить условия начала критического роста трещин и охарактеризовать трещиностойкость линейно- и псевдоупругих мате­риалов, но также предсказать направление наиболее интенсивного пластического деформирования псевдохрупких материалов вблизи вершин трещин при плоской деформации и описать процесс докритического подрастания трещин в них в условиях плоского напряженного со­стояния. Важным достоинством модели Си по сравнению с традиционными подходами механики трещин однородных и изотропных линейно- и псевдоупругих материалов является еще и то, что она отражает не только феноменологию, но и физику процессов инициирования и рос­та трещин и дает возможность устанавливать взаимосвязь парамет­ров трещиностойкости реальных материалов с их составом и структу­рой [41]. Кроме того, в отличие от традиционных подходов механи­ки трещин модель Си предполагает анизотропию сопротивления росту трещин реальных материалов, даже если они являются однородными и изотропными. При этом распространение трещин в направлении их первоначальной ориентации (θ ₀=0) рассматривается как частный случай. Это позволяет использовать S-критерий для оценки усло­вий начала и направления роста трещин в однородных и изотропных линейно- и псевдоупругих материалах, когда направление ориентации трещин не совпадает с направлением действия нагрузки (" косые" трещины), а также при сложных видах нагружения. Это же делает S- критерий особенно привлекательным для оценки условий роста трещин в анизотропных и гетерогенных материалах, направление распростра­нения трещин в которых, как правило, не известно заранее, а применимость традиционных подходов механики трещин весьма ограничена.

Эффективность использования S-критерия применительно к ре­альным анизотропным и гетерогенным материалам различного состава и фазовой структуры проиллюстрирована с привлечением систематичео ких экспериментальных данных в монографии [42].

J- критерий и параметр тре щиностойкости J_c. Введение J-критерия базируется на анализе локального баланса энергии в об­ласти, окружающей вершину трещины. Этот критерий является более универсальным энергетическим параметром, чем G, и позволяет характеризовать скорость высвобождения упругой энергии при росте трещин как в линейно- и псевдоупругих материалах, так и в упруго-пластичных материалах с ярко выраженной пластичностью, дня кото­рых G-критерий не применим (см. разд. I.2.2A).

Параметр J - не зависящий от пути контурный интеграл или ин­теграл Черепанова - Райса [б2, 53]. Он представляет собой обобщенный энергетический параметр, характеризующий поток энергии

через произвольный замкнутый контур, окружающий вершину трещины. В случае однородного тела, имеющего надрез с плоскими поверхностями и закругленным концом и находящегося при отсутствии объемных сил в состоянии плоской деформации, так что все напряжения σ _ij зависят от двух декартовых координат х = х₁ и у = х₂ (рис. 1.9).

J-интеграл определяется выражением [53]

где Г - произвольный замкнутый контур, окружающий вершину надре­за (трещины), вдоль которого осуществляется интегрирование в на­правлении против часовой стрелки, начиная с нижней плоской поверх­ности надреза и заканчивая верхней; W- плотность энергии де­формации [см. формулу (I.24); Ť - вектор распределенных усилий, действующих на границе области, ограниченной контуром Г (T _i= σ _ijn_j); σ _ij — компоненты напряжений; n_j - внешняя нормаль к контуру Г; ū - вектор перемещений на контуре Г; ds- ма­лый элемент контура Г(см. рис. 1.9).

При этом доказывается, что как для линейно- и псевдоупругих, так и для нелинейно-упругих материалов, поведение которых можно описать в рамках деформационной теории пластичности, величина J-интеграла не зависит от формы и размера замкнутого контура Г, а также от того, пересекает ли он пластическую зону, располагает­ся ли внутри или вне ее, т.е. доказывается инвариантность J-ин­теграла.

На основе анализа изменения потенциальной энергии системы П (см. рис. 1.9) при увеличении длины надреза на величину da ус­танавливается, что [53]

где h- толщина плоского тела.

Из формулы (1.32) следует, что J-интеграл характеризует ин­тенсивность выделения потенциальной энергии при увеличении длины надреза (трещины) аналогично параметру G. В механике трещин доказывается, что в отсутствие интенсивного пластического дефор­мирования материала в вершинах трещины параметр J равен интен­сивности высвобождения упругой энергии G при росте трещин в линейно- и псевдоупругих материалах. Это справедливо для любого из трех простых типов нагружения, а также при смешанном нагружении. Следовательно, J-интеграл может быть использован в качестве критериальной величины цри формулировании критерия роста тре­щин в однородных и изотропных линейно- и псевдоупругих материалах по аналогии с параметром G (см. формулы 1.7 и 1.9)], пос­кольку для таких материалов они эквивалентны и характеризуют ин­тенсивность высвобождения энергии деформации при удлинении трещи­ны на конечную величину.

Распространение J -критерия на анизотропные и/или гетероген­ные линейно- или псевдоупругие материалы сопряжено с определенны­ми трудностями, связанными прежде всего с тем, что для таких ма­териалов J-интеграл становится зависящим от пути интегрирова­ния, т.е. утрачивает одно из основных своих свойств - инвариант­ность [32, 55, 56]. В последнее время для анизотропных и гетеро­генных материалов предложено несколько различных модификаций J-интеграла (см., например, работы [32, 57, 5в|}, однако вопрос о достоверности оценки условий роста трещин с помощью таких квазиинвариантных J - интегралов носит пока дискуссионный характер,