Переріз поверхонь проецюючою площиною

При перетині кривої поверхні площиною утворюється плоска крива лінія, що лежить в цій площині. Щоб побудувати проекції цієї лінії на комплексному кресленні треба знайти проекції точок, які їй належать і потім сполучити їх плавною кривою.

Серед цих точок є такі точки, які виділяються окремим розташуванням або по відношенню до площин проекцій, або займають особливі місця на кривій лінії. Це можуть бути найбільше, або найменше віддалені точки від тої чи іншої площини проекцій (екстремальні точки), точки, які розташовані на крайніх твірних поверхні, якими визначають видимість, точки найбільшої ширини кривої і таке інше. Такі точки називаються характерними або опорними. Кожну з цих точок, при розв’язанні задачі, знаходять своїм окремим способом побудови. Інші точки лінії перетину називаються довільними або випадковими і знаходять одним і тим же способом, який полягає в тому, що задані січну площину і поверхню перетинають допоміжною січною площиною. Ця площина перетинає поверхню по якійсь кривій лінії, а січну площину – по прямій. Якщо отримані крива і пряма перетинаються, то очевидно, що точки їх перетину належать і поверхні і площині, тобто є точками їх лінії перетину. Таку допоміжну площину вибирають так, щоб в перетині її з поверхнею утворювалась проста для побудови лінія – коло або пряма. Крім того важливо, щоб одна проекція кола була також колом, а друга – відрізком прямої. Цей спосіб називається способом допоміжних січних площин.

9.4.1. Переріз многогранників

Рис. 9.16.

Побудувати переріз бічної поверхні призми фронтально-проецюючою площиною Σ і його дійсну величину (рис. 14.3).

В перерізі утворюється замкнена ламана лінія, яка є трикутником. Його вершини точки 1, 2, 3, знайдені як точки перетину бічних ребер призми з січною площиною.

Для побудови дійсної величини перерізу використано спосіб заміни площин проекцій. Для цього введено додаткову площину П₄, що перпендикулярна до площини проекцій П₂ і паралельна площині Σ. Проекція є дійсною величиною перерізу.

Рис. 9.17.

9.4.2. Переріз циліндра площиною

Якщо перетинаємо поверхню прямого кругового циліндра площиною, яка перпендикулярна вісі обертання циліндра, в перерізі буде коло, якщо паралельно вісі будуть дві паралельні лінії, якщо кут нахилу площини до вісі циліндра довільний – в перерізі буде еліпс.

Задача 9.1. Побудувати дійсну величину переріза циліндра (рис. 9.18).

Рис. 9.18.

Всі площини, які розташовані під кутом до осі обертання, в тому числі і площина Σ, перерізають циліндр по еліпсу. Фронтальна проекція еліпса (лінія А₂В₂) дорівнює його великій осі, а мала вісь – СD дорівнює діаметру циліндра. Горизонтальна проекція еліпса співпадає з горизонтальною проекцією циліндра, тобто є колом, на якому розташовані горизонтальні проекції опорних (А₁, В₁, С₁, D₁), а також довільних (1₁, 2₁, 3₁, 4₁) точок. Дійсна величина перерізу побудована координатним способом. Для цього проведено довільну вісь х' і на ній відкладений розмір великої осі еліпса, яка дорівнює його фронтальній проекції (А'В' = А₂В₂). Відомо, що осі еліпса взаємно перпендикулярні і ділять одна одну на дві рівні частини. Тому відрізок А'В' поділено навпіл і на ньому одержано точку О'. Крізь цю точку перпендикулярно до осі х' проведено вісь у' і на ній відкладено розмір малої осі еліпса, який дорівнює діаметру циліндра (С'D' = С₁D₁). Для побудови точок 1', 2', 3', 4' від точки О' по осі х' відкладені відрізки а в різні сторони, які знайдені на фронтальній проекції. Крізь отримані точки L' і N' проведено перпендикуляри до осі х', на яких відкладені координати у (на креслені позначені двома рисками) точок 1', 2', 3', 4'.

При побудові еліпса корисно використовувати його симетричність відносно малої та великої вісей.

9.4.3. Конічні перерізи

Лінії, які утворюються при перетині поверхні конуса другого порядку з площиною, називаються конічними перерізами. Розглянемо умови, при яких утворюються той чи інший переріз. Для цього візьмемо конус обертання, який є окремим випадком конуса другого порядку (рис. 9.19).

1. Якщо січна площина нахилена до осі конуса і перетинає всі його твірні, то утворюється еліпс (рис. 9.19а). В цьому випадку площина Σ не паралельна жодній твірній конуса, тому вона перетинає кожну з них в кінцевій, а не в нескінченно віддаленій точці, отже еліпс є кривою, що не має нескінченно віддалених точок.

2. Якщо січна площина перпендикулярна до осі конуса, то утворюється коло. Цей випадок показаний на рис. 9.19а (січна площина Σ '), він є окремим випадком попереднього.

3. Якщо січна площина паралельна одній із твірних конуса, то утворюється парабола (рис. 9.19б). Січна площина Σ перетинає всі твірні конуса, крім однієї, якій вона паралельна. Тому парабола крім кінцевих точок має одну нескінченно віддалену.

4. Якщо січна площина паралельна двом твірним конуса, то в перерізі буде гіпербола (рис. 9.19в). Такими ж міркуваннями, які мали місце при розгляданні двох попередніх випадків, можна дійти до висновку, що гіпербола має дві нескінченно віддалені точки. Слід звернути увагу на такий окремий випадок, коли січна площина паралельна осі конуса (рис. 9.19г). В цьому разі площина також паралельна двом твірним конуса (їх проекції співпадають з проекцією осі конуса) і тому в перерізі теж утворюється гіпербола.

5. Якщо січна площина проходить крізь вершину конуса (рис. 9.19в, січна площина Σ '), то в перерізі утворюється так звана вироджена гіпербола, у вигляді двох прямих, що перетинаються.

Рис. 9.19.

Задача 9.2. Побудувати дійсну величину перерізів конусу (рис. 9.20...9.22).

Рис. 9.20. Рис. 9.21.

Рис. 9.22.

Площина Σ перетинає всі твірні конуса, тому в перерізі утворюється еліпс. Його фронтальна проекція А₂В₂ співпадає з фронтальним слідом Σ ₂ січної площини Σ і дорівнює величині великої осі еліпса. Побудуємо горизонтальну проекцію перерізу, яка теж буде еліпсом. Горизонтальна проекція великої осі визначається горизонтальними проекціями А₁ і В₁ точок А і В, які знаходяться на обрисних твірних конуса і є опорними. Тепер знайдемо проекції малої осі еліпса. Відомо, що осі еліпса взаємно перпендикулярні і ділять одна одну навпіл. Тому фронтальна проекція малої осі буде розташована на середині відрізка А₂В₂ (фронтальної проекції великої осі) і проецюється в точку С₂ ≡ D₂. Для знаходження її горизонтальної проекції крізь С₂ ≡ D₂ проведено січну площину горизонтального рівня Г(Г₂), яка перетинає конічну поверхню по колу а(а₁, а₂). На його горизонтальній проекції а₁ (в перетині її з вертикальною лінією зв’язку, проведеної з С₂ ≡ D₂) знайдено горизонтальні проекції С₁ і D₁ точок С і D, які і визначають горизонтальну проекцію малої осі еліпса і яка є її дійсною величиною. Так само за допомогою січних площин Г'(Г'₂) і Г" (Г" ₂) знайдено горизонтальні проекції 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ точок 1, 2, 3, 4. Для спрощення побудови ці січні площини проведені симетрично площині Г(Г₂).

Дійсну величину перерізу побудовано у відповідності до попередньої задачі 9.1. На рис. 9.21 площина Σ розташована паралельно до твірної конуса, тому в перерізі буде парабола, її будова виконується у повній відповідності до попередньої задачі – побудова еліпса.

Площина Σ паралельна двом твірним конуса, тому вона перетинає його поверхню по гіперболі. Її горизонтальна проекція співпадає з горизонтальний слідом Σ ₁ січної площини Σ. Відмічаємо на проекції А₁, 1₁, 2₁, С₁ точки, які належать перерізу. Потім знаходимо їх фронтальні проекції А₂, 1₂, 2₂, С₂, враховуючи, що точки А і С знаходяться на основі конуса, точка 1 – на його лівій обрисній твірній, а точка 2 – в перерізі конічної поверхні січною площиною Г.

Точка В – вершина гіперболи, вона є вищою точкою перерізу. Її горизонтальна проекція В₁ знаходиться на середині відрізка А₁С₁. Фронтальну проекцію знаходимо, використовуючи твірну конічної поверхні SK, яку проведено крізь цю точку.

Для побудови дійсної величини перерізу на розташованій вісі відмічаємо точки , , , , . На тих само відстанях між собою, що й на перерізі А₃, 1₃, , 2₃, С₃. З цих точок проводимо вертикальні лінії і на них відкладаємопроекції основи (проведена умовна вісь ) до відповідних фронтальних проекцій цих точок А₂, 1₂, , 2₂, С₂. Після з’єднання цих точок А, 1, , 2, С отримуємо шукану гіперболу _.