Симметрические матрицы и преобразования

Матрица называется симметрической, если ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. .

Например, матрица

является симметрической.

Линейное преобразование евклидова пространства называется симметрическим, если для произвольных векторов и скалярное произведение равно скалярному произведению .

В любом ортонормированном базисе матрица симметрического преобразования является симметрической.

Произвольную симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Любое симметрическое линейное преобразование (с матрицей ) в пространстве имеет, по крайней мере, одну тройку попарно перпендикулярных собственных векторов, при определении которых возможны следующие случаи.

1. Если собственные значения симметрической матрицы различны, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны.

2. Если среди чисел два одинаковых, то двукратному корню, например , соответствует бесконечное множество собственных векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярной к собственному вектору, соответствующему собственному значению .

3. Если все собственные значения одинаковы, т.е. - трехкратный корень характеристического уравнения, то симметрическое линейное преобразование есть преобразование подобия пространства с коэффициентом подобия . Следовательно, в этом случае любые три попарно перпендикулярных вектора являются собственными векторами симметрического преобразования .

Тема 4

51..

Линейная функция — функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

При , прямая проходит через начало координат.

52..

Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств. Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно -сопряжённое пространство — пространство линейных функционалов.

Линейно-сопряжённое пространство — определение Править

Для линейных функционалов на линейном пространстве можно определить операции сложения и умножения на число:

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . В конечномерном случае сопряжённое пространство имеет ту же размерность что и пространство . Обычно элементы пространства обозначают вектором-строкой, а элементы — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Верно также что пространство, сопряжённое к сопряжённому , совпадает с .

53..

Специальное представление линейной формы в евклидовом пространстве. Пусть V — евклидово пространство, а С — комплексная плоскость (одномерное комплексное линейное пространство).
В п. 1 § 1 этой главы мы ввели понятие линейной формы — линейного оператора, действующего из V в С. В этом пункте мы получим специальное представление произвольной линейной формы из L(V, С).
Лемма. Пусть f — линейная форма из L(V, С). Тогда существует единственный элемент h из V такой, что

f(х) = (х, h). (5.40)

Доказательство. Для доказательства существования элемента h выберем в V ортонормированный базис е₁, е₂,..., е_n.

Рассмотрим элемент h, координаты h_k которого в выбранном базисе определяются соотношениями (черта над f(e_k) означает, что берется комплексно-сопряженное значение этого выражения)

Таким образом, .

Пусть — произвольный элемент пространства V. Используя свойства линейной формы f и равенство (5.41), получим

Так как в ортонормированном базисе {е_k} скалярное произведение (х, h) векторов , то
из (5.42) получаем f(х) = (х, h).
Существование вектора h доказано.
Докажем единственность этого вектора. Пусть h₁ и h₂ — два вектора таких, что с помощью этих векторов форма f(х) может быть представлена в виде (5.40). Очевидно, для любого х справедливо соотношение (х, h₁) = (х, h₂), из которого следует равенство (х, h₂ — h₁) = 0. Полагая в этом равенстве х = h₂ — h₁ и используя определение нормы элемента в евклидовом пространстве, найдем ||h₂ — h₁|| = 0. Итак, h₂ = h₁. Лемма доказана.

Тема 5

54..

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,

,

,

,

здесь и