Формулировки

Пусть будет эрмитовой матрицей размерности . Обозначим транспонированный вектор посредством , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством .

Матрица является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1.	Для всех ненулевых комплексных векторов , Отметим, что величина всегда вещественна, поскольку — эрмитова матрица.
2.	Все собственные значения , , положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица , переведённая в другую систему координат (то есть , где — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы , образующие базис). По этому определению — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали (или, другими словами, собственные значения ) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов , действие на вектор равносильно покомпонентному умножению на положительный вектор.
3.	Полуторалинейная форма определяет скалярное произведение в . Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.
4.	— матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов для какого-то . Другими словами, элементы определены следующим образом Таким образом, , где инъективная, но не обязательно квадратная матрица.
5.	Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра). В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство может быть заменено на , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть будет полем вещественных () или комплексных () чисел, а будет векторным пространством над . Эрмитова форма

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным , будет . Такая функция называется положительно определённой, когда для любого ненулевого .

62..

Критерий Сильвестра определяет, является ли квадратная матрица положительно (отрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу . Тогда эта форма положительно определенна, если и только если все её угловые миноры положительны, и отрицательно определенна, если и только если их знаки чередуются, причём .< 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

.

Доказательство критерия Сильвестра основанно на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

63..

Квадратная матрица называется ортогональной матрицей, если её столбцы образуют ортонормированную систему векторов пространства арифметических векторов соответствующей размерности.

Строки ортогональной матрицы также образуют ортонормированную систему векторов.

Матрица H ортогональна тогда и только тогда, когда

H^T·H = H·H^T = E, E — единичная матрица.

64..