Доведення. Якщо n = 2, то - правильна нерівність (бо виконується рівність , що виражає теорему Піфагора).

Якщо n = 2, то - правильна нерівність (бо виконується рівність , що виражає теорему Піфагора).

Припустимо, що правильною є нерівність: .

Доведемо, що правильною буде нерівність .

Так як а та b – катети, с – гіпотенуза прямокутного трикутника, то
a < c, b < c.

Звідси , .

Додамо останні дві нерівності .

.

Згідно принципу математичної індукції робимо висновок про те, що нерівність правильна " n 2, n N; а, b – катети, с – гіпотенуза прямокутного трикутника.

Приклад №2

У площині проведено n прямих, із яких ніякі дві не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку. На скільки частин розбивають площину ці прямі?

Розв’язання.

Зробивши відповідні рисунки, можна легко переконатися в тому, що одна пряма розбиває площину на 2 частини, дві прямі – на 4 частини, три прямі – на 7 частин, чотири прямі – на 11 частин.

Позначимо через N(n) – число частин, на які n прямих розбивають площину. Тоді: N (1) = 2;

N (2) = N (1) + 2;

N (3) = N (2) + 3;

N (4) = N (3) + 4.

Можна припустити, що N (n) = N (n –1) + n.

Складемо почленно ці n рівностей:

N (n) = 2 + 2 + 3 + 4 + …+ n, або .

Доведемо правильність останньої формули за допомогою методу математичної індукції.

1) Якщо n = 1, то N (1) = 2.

2) Припустимо, що формула правильна при n = k, тобто .

Розглянемо k +1 прямих. Виділимо з них довільним чином k прямих. За припущенням індукції вони розбивають площину на частин.
k+1-ша – пряма, що залишилася, розіб’ється виділеними k прямими на k +1 частин і, відповідно, пройде по k +1 частинах, на які площина була вже розбита, і кожну з цих частин розділить на 2 частини, тобто додається ще
k + 1 частина.

Отже, , що й потрібно було довести.

Таким чином, формула правильна при n N.

Приклад №3

На площині проведено n кіл так, що кожні два з них перетинаються і жодні три не мають спільної точки. Довести, що вони ділять площину на n²-n+2 частин.

Доведення.

1) При n=1 коло ділить площину на дві частини та n²-n+2=1-2+2=2. Отже, при n=1 твердження істинне.

2) Нехай k кіл ділять площину на k²-k+2 частини. Доведемо, що (k+1) коло ділить площину на (k+1)²-(k+1)+2 частини.

(k+1)-ше коло має 2k спільних точок з іншими k колами (з кожним колом по дві спільні точки). Ці 2k точок розбивають (k+1)-ше коло на 2k дуг. Кожна з цих дуг ділить на дві частини одну з 2k частин площини, на які вона була розбита k колами. Отже, число частин збільшилось на 2k і дорівнює k²-k+2+2k=

=k²+2k+1-(k+1)+2=(k+1)²-(k-1)+2. Значить твердження істинне і при n=k+1.

За припущенням математичної індукції воно істинне і при будь-якому натуральному n.

Висновок

Сучасність змушує людину займатися пошуком і вирішенням різноманітних виробничих, наукових і побутових проблем. Від того, наскільки вона володіє методами їх розв’язування, залежить її місце в суспільстві. Особливу роль серед них відіграють математичні методи доведення і розв’язування задач.

За своїм первинним змістом слово “індукція” застосовується до міркувань, за допомогою яких одержують загальні висновки, зроблені на основі спостережень і досвіду, тобто одержані шляхом розгляду частинних випадків і узагальнення закономірностей на загальний випадок. Слово “індукція” означає “наведення”. В наукових дослідженнях (особливо в експериментальних науках) використовується індуктивне мислення. Індукція широко застосовується у природничих науках. Так, багато фізичних законів (наприклад, закон Ома, закон Джоуля-Ленца, закон Кулона, тощо) були сформульовані саме на основі узагальнення ряду окремих спостережень.

Cписок літератури

1. Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики. Вища шкла”, К., 1976, стор 201, 202, 173.

2. А.В.Шевченко Математична індукція. Київ, 1996.

3. Г.И.Глейзер История математики в школе IX – X классы стр 53.

4. В.А.Кречмар Задачник по алгибре, М., 1968 стр. 92, 335.

5. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин, А.Г.Мордкович “Математика” Минск, 1996, стр 471.

6. И.А.Галицкий, А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре”. М, 1995, стр 8.

7. И.А.Кушнир “Математика для поступающих в вузы”. Киев, 1996, стр 409.

8. И.А.Кушнир “Математическая энциклопедия”, К., 1995, стр389.

9. И.А.Кушнир “Шедевры школьной математики”, кн.1, стр 471, 476.

10. И.А.Кушнир “Неравенства”, стр 345.

11. Т.В.Коваль “400 задач з математичних олімпіад”. Тернопіль, 1998.

12. А.Д.Кутасов, Т.С.Пиголкина, В, И, Чехлов, Т.Х.Яковлева “Пособие по математике для поступающих в вузы ”, М., стр 331