Доведення. 1) При n=3 маємо 23>2 3+1, тому що 8>7

1) При n=3 маємо 2³> 2 3+1, тому що 8> 7. Вихідна нерівність правильна при n=3.

2) Припустимо, що нерівність вірна при n=k, тобто 2^k> 2k+1.

Враховуючи це припущення, доведемо, що 2^k+1> 2(k+1)+1 (при n=k+1).

Маємо 2^k+1=2 2^k> 2 (2k+1)=4k+2=2k+2+2k=2(k+1)+2k.

Оскільки 2k> 1, то з останньої нерівності дістаємо 2^k+1> 2(k+1)+1. А це означає, що нерівність правильна і при n=k+1.

Отже, за узагальненим принципом математичної індукції нерівність доведемо для всіх

Зробимо зауваження, що при n ця нерівність не є правильною, так,

коли n=2, маємо: 2²< 2 2+1,

4< 5;

коли n=1, маємо 2< 2+1,

2< 3.

Тобто нерівність 2ⁿ> 2n+1 неправильна при n=1; 2.

Наведемо ще один приклад, коли необхідно застосовувати узагальнений принцип математичної індукції. Розв’яжемо одну з комбінаторних задач.

Приклад №2

Довести, що будь-яку суму грошей, більшу 7 копійок, можна розміняти монетами тільки по 3 і 5 копійок.