Математическое моделирование

На основании полученных данных проводятся расчеты при помощи программы Mathcad. Графическое представление данных позволяет сделать вывод, что экспериментальные точки расположены в некоторой степени близко к некоторой прямой, т. е. в качестве аппроксимирующей функции можно использовать линейную.

При моделировании различных процессов часто приходится иметь дело с функциями, заданными таблично, когда значения некоторой физической величины y_i получены из экспериментов. В рассматриваемой модели выходной величиной являются значения не совмещения элементов тиснения с печатными элементами. Представленная модель представляет собой простейшую зависимость измеряемой величины отклонения действительных размеров от заданных в зависимости от режимов тиснения x_i, т. е. y_i = f (x_i).

В исследуемом процессе полученная зависимость является самой простой линейной функцией, что подтверждает проверка линейности, которая проводится с помощью условия постоянства разделенных разностей первого порядка:

(1.1)

Коэффициенты а и b прямой y = ax + b находят по методу наименьших квадратов. В соответствии с этим методом сумма квадратов отклонений для всех точек должна быть минимальна:

(1.2)

где n — число экспериментальных точек.

Известно, что в точке минимума производная равна 0, если функция зависит от нескольких параметров, то в точке минимума равны 0 все частные производные по этим параметрам.

В качестве функции F выбрана линейная функция. F(x) = ax + b.

Необходимо найти значение параметров a и b. В этом случае формула (1.2) примет вид:

(1.3)

В точке минимума частные производные по параметрам a и b должны быть равны 0:

(1.4)

(1.5)

Полученная система из двух уравнений (1.5) может быть использована для нахождения двух неизвестных параметров a и b.

Для определения коэффициентов линейной регрессии в пакете Mathcad имеются стандартные средства, в основе которых заложен метод наименьших квадратов: функции intersept(vx, vy) и slope(vx, vy), где vx и vy — вещественные вектора значений аргумента и функции. Отметим, что элементы vx должны идти в порядке возрастания; переменная x, для которой можно найти приближенное значение функции лежит внутри интервала изменения элементов.

В результате вычислений в программе MathCad были получены результаты,

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В результате проведенных на производстве экспериментальных исследований были получены статистические данные, описывающие зависимость качества припресовки фольги от температуры пресса приведенные в таблице 2. Выполним на основе полученных данных разработку математических моделей.

Анализ представленных в табл.2 данных показывает, что вид искомой функции наиболее близок к линейной зависимости. В качестве функции F выбрана линейная функция F(x) = ax + b. Необходимо найти значение параметров a и b и оценим адекватность полученной математической модели.

Для определения коэффициентов линейной регрессии в пакете Mathcad имеются стандартные средства, в основе которых заложен метод наименьших квадратов: функции intersept(vx, vy) и slope(vx, vy), где vx и vy — вещественные вектора значений аргумента и функции. Отметим, что элементы vx должны идти в порядке возрастания; переменная x, для которой можно найти приближенное значение функции лежит внутри интервала изменения элементов.

В результате вычислений в программе MathCad получены результаты

Следует отметить, что графики зависимости точности тиснения фольгой от температуры тиснения на практике оказался линейной функцией. Полученные практические данные можно объяснить тем, что не рассматривались такие факторы как скорость, давление и состояние штампа.

Учитывая, что допустимые значения отклонения на точность тиснения составляют ±0, 3 мм, то исходя из полученных результатов можно порекомендовать использовать температуру 110˚ С.