Применение аналогий при построении моделей. Модель Мальтуса и логистическая модель развития популяций. Особенности нелинейных моделей.

В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях оправдано использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако такая аналогия просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение, что скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению , весьма похожему на уравнение радиоактивного распада (если α и β постоянные). Интегрирование этого уравнения дает , где N(0) – начальная численность населения. Если α + β = 0, то численность остается постоянной, то есть решением является равновесная величина N(t)=N(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α + β = 0 приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N(t) от равновесного состояния N(0). Заметим, что при постоянных α и β, в случае α > - β население растет по экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность, в случае α < - β численность населения убывает по экспоненте, стремясь к нулю. Можно указать немало ограничений применимости построенной модели, конечно же этот сложнейший процесс не может описываться какими–либо простыми закономерностями хотя бы потому, что он зависит от сознательного вмешательства самих людей. Тем не менее данная модель в первом приближении характеризует данный процесс.

Простота многих рассмотренных моделей связана с их линейностью. В математическом плане это означает, что справедлив принцип суперпозиции, то есть любая линейная комбинация решений также является решением задачи. Пользуясь этим принципом, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. В случае линейных моделей отклик объекта на изменение каких-либо условий пропорционален величине этого изменения.

Для нелинейных явлений знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания о поведении всего объекта, а его отклик может качественно зависеть от величины этого изменения. Например, уменьшение падение луча света на границу раздела двух сред приводит к уменьшению угла преломления, но только до определенного предела: если угол становится меньше критического, то происходит качественное изменение – свет перестает проникать через границу раздела двух сред.

Большинство реальных явлений нелинейно. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, популяционные модели становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. Рассмотрим такую нелинейную модель – логистическую модель изменения численности популяций. Она является следующим звеном в иерархической цепочке популяционных моделей. В логистической модели предполагается, что:

Существует равновесная численность популяции , которую может обеспечить окружающая среда. Скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной на величину ее отклонения от равновесного значения, то есть . Член обеспечивает механизм «насыщения» числен-ности. Представляя последнее уравнение в виде , и интегрируя его, получаем . Поведение функции описывается логистической кривой (рис. 6). При любом N(0) численность стремиться к равновесному значению Np, причем тем медленнее, чем величина N(t) ближе к .

Рис. 6.

Модель предсказывает, что с течением времени устанавливается стационарный режим, который устойчив: большое население уменьшается, меньшее – увеличивается.

Модель Мальтуса изменения численности популяций, имеющая вид: , где k – константа является примером «жесткой» модели. Эта жесткая модель описывает не только изменение численности популяций, но применима, например, к развитию науки в 1700 – 1950 годах (измеряемому, скажем, числом научных статей). При k > 0 она дает экспоненциальный рост изучаемой величины. Продолжение экспоненциального роста в дальнейшем быстро привело бы к исчерпыванию ресурсов. Ясно, что общество не может это допустить и, следовательно, развитие науки должно быть подавлено. Аналогичные явления насыщения происходят в любой популяции: когда население становится слишком большим, мальтусовская жесткая модель с постоянным коэффициентом роста k перестает быть применимой и должна быть заменена на мягкую модель

.Простейшим примером является выбор , что приводит к логистической модели вида . Как только фиксируем a и b, логистическая модель становиться жесткой, но выводы, которые справедливы для нее, остаются справедливыми для широкого класса моделей с убывающими по N функциями k (N). Когда население мало , она очень близка к мальтусовской модели, но при достаточно больших N наблюдается резкое отличие от мальтусовского роста: вместо ухода на бесконечность, население приближается к стационарному значению. Логистическая модель удовлетворительно описывает многочисленные явления насыщения, в частности, является обычной в экологии.