Построение простейших математических моделей исходя из фундаментальных законов природы. Примеры применения законов сохранения энергии, материи и импульса.

Основной метод построения моделей – фундаментальные законы природы, применяемые к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений, поэтому их обоснованность не вызывает сомнений.

Закон сохранения энергии известен почти двести лет и занимает наиболее почетное место среди великих законов природы.

Задача. Определить v – скорость револьверной пули с массой m, с помощью устройства «маятник-груз», повешенном на легком вращающемся стержне длинной L. (Рис.1).

Рис.1.

Решение. Пуля застревает в грузе массой M, подвешенном на нити, и сообщает системе «пуля – груз» свою кинетическую энергию, которая, согласно закону сохранения энергии, в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали на угол полностью перейдет в потенциальную энергию системы. Запишем это в виде: mv2/2 = (m+M)gh, где h – отклонение системы «пуля – груз» по вертикали. Из рисунка видно, что cosα = (L-h)/L, h = L(1-cosα) и mv2/2 = (m+M)g L(1-cosα).

Из этого соотношения находим скорость пули .

Таким образом, построенная модель дает приближенное решение задачи, так как не учитывает потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, на разгон стержня и т.д. (правда они невелики). Закон сохранения механической энергии дает нижнюю оценку для скорости пули, так как он учитывает, что сохраняется механическая, а не полная энергия. Для более точного решения этой задачи надо воспользоваться законом сохранения импульса: импульс системы до соударения и после соударения одинаков, то есть mv = (M+m) .

Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия системы «пуля – груз» в нижней точке в момент максимального отклонения полностью перейдет в потенциальную энергию, что можно записать следующим образом , делая необходимые преобразования получаем = 2gh, h = (L – Lcosα), . Таким образом, имеем

Мы получили другое выражение для определения скорости пули

Применим закон сохранения энергии для решения следующей задачи.

Задача. Лазер сверлит поверхность металла толщины L с мощностью W. Излучение лазера перпендикулярно поверхности материала. Плотность вещества ρ. Площадь поперечного сечения столбика, который сверлит лазер S. Найти время t, за которое лазер просверлит металл.

Решение. Предположим, что вся энергия лазера идет на испарение столбика материала массы . Закон сохранения энергии запишем виде , где h – энергия, требуемая для испарения единицы массы, тогда . Рассмотрим процесс сверления лазером более детально. Пусть – глубина выемки, зависящая от времени t. На испарение за время массы тратится энергия , равная энергии , сообщаемой веществу лазером: , отсюда получается дифференциальное уравнение , его интегрирование дает , где – вся энергия, выделенная лазером к моменту времени t. Следовательно, глубина выемки пропорциональна затраченному времени. Таким образом, если , то , что и было получено ранее.

В действительности процесс сверления гораздо сложнее рассмотренной схемы – энергия тратиться на нагрев вещества, на удаление паров из выемки и т.п., поэтому уверенность в адекватности предложенной математической модели значительно меньше, чем в случае с пулей. Вопрос о соответствии объекта и его модели – один из центральных в математическом моделировании.