Поверхні обертання

Пове́ рхня оберта́ ння — поверхня, утворена при обертанні навколо прямої (осі обертання) кривої (твірної). Наприклад, якщо обертати пряму, що перетинає вісь обертання, то при її обертанні отримуємо колову конічну поверхню, якщо пряма паралельна до осі обертання, то колову циліндричну, якщо схрещується з віссю — однопорожнинний гіперболоїд. Одна й та сама поверхня може бути отримана обертанням різних кривих.

Площа

Площа поверхні обертання, яка утворюється обертанням плоскої кривої скінченної довжини навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку довжини кривої на довжину кола з радіусом, рівним відстані від осі до центру мас кривої. Це твердження називається другою теоремою Гюльдена, або теоремою Паппа про центроїди.

Наприклад, для тора з радіусами , площа поверхні дорівнює

.

Площа поверхні обертання, яка утворена обертанням явно заданої кривої , навколо осі , обчислюється за формулою

Площа поверхні обертання, яка утворена обертанням кривої, заданої параметрично , навколо осі , буде

Для випадку, коли крива задається в полярній системі координат рівнянням , використовують формулу

Об'єм

Об'єм, обмежений поверхнею обертання, яка утворена обертанням плоскої замкненої без самоперетинів кривої навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку площі плоскої фігури, обмеженої кривою, на довжину кола з радіусом, рівним віддалі від осі до центра ваги плоскої фігури.

Об'єм поверхні обертання, утвореної обертанням кривої навколо осі обчислюється за формулою