Перетворення координат

Перетворення координат - заміна системи координат на площині, в просторі або, в самому загальному випадку, на заданому n-вимірному різноманітті.
Приклад переходу від полярних координат до декартовим на евклідовій площині:

Найчастіше перетворення координат проводиться для переходу до більш простої або більш зручною для аналізу математичної моделі. Наприклад, рівняння деяких плоских кривих в полярних координатах істотно простіше, ніж в декартових, а для дослідження осесиметричних тіл зручно направити одну з осей координат уздовж осі симетрії.
Визначення та класифікація
Перетворення координат - сукупність правил, що ставлять у відповідність кожному набору координат на деякому n-вимірному різноманітті інших наборів координат :

При цьому після перетворення має зберігатися однозначна відповідність між точками різноманіття і наборами координат (допускаються виключення для деяких особливих точок).

Це перетворення може трактуватися двояко:
1. Пасивна точка зору - відбувається зміна координат точок різноманіття. Всі крапки при цьому залишаються на своїх місцях.
2.Активна точка зору - перетворення ставить у відповідність кожній точці різноманіття іншу точку. Система координат при цьому не змінюється.

Активна (ліворуч) і пасивна (праворуч) точки зору на обертання. Зліва повертається площину, праворуч - осі координат.
Приклад для евклідової площини:

Дане перетворення можна витлумачити одним із двох способів.
1. Зміна системи координат, яка збільшує абсциси всіх точок на 1.
2. Перенесення всіх точок площини на 1 паралельно осі x.
За типом формул всі перетворення координат можна згрупувати в різноманітні класи - наприклад, виділити обертання, лінійні перетворення, перетворення, що зберігають довжини і т. Д. Зазвичай виділений клас є групою перетворень в сенсі загальної алгебри, тобто композиція двох перетворень відноситься до того ж класу і для кожного перетворення існує зворотне.
Інваріанти
Інваріантом даного перетворення координат називається функція координат, значення якої після перетворення не змінюються. Наприклад, обертання і переноси не міняють відстані між точками евклідового простору. Інваріанти є важливою характеристикою групи перетворень.