Приложение II

В своих работах в 1916-1917 гг. Эйнштейн не только ввел коэффициенты для количественного описания процессов излучения и поглощения атомами фотонов, но также установил связь между коэффициентами, частными случаями которой являются связь коэффициентов и в виде соотношения (I.6), непосредственно полученного Эйнштейном, и связь коэффициентов и в виде соотношения (I.7) (см. Приложение I). По Эйнштейну связь между коэффициентами , и можно получить на основе следующих рассуждений. В условиях термодинамического равновесия процессы излучения и поглощения должны количественно уравновешивать друг друга (говорят о справедливости принципа детального равновесия в условиях термодинамического равновесия). Согласно принципу детального равновесия можно записать следующее равенство для чисел переходов , и (см. выражения (1), (I.2) и (I.4)):

. (II.1)

Согласно (II.1) общее число излучательных переходов в виде суммы чисел для спонтанного и вынужденного переходов уравновешивается числом поглощательных переходов. При использовании выражений (1), (I.2) и (I.4) с заменой чисел атомов и на концентрации атомов и имеем следующее уравнение, включающее в себя интегральные коэффициенты Эйнштейна , и :

. (II.2)

Далее для установления связи между коэффициентами , и разрешают уравнение (II.2) по отношению к и сопоставляют спектральную плотность с равновесной планковской спектральной плотностью обычно в предположении, что спектральные переходы в атоме являются узкими (по существу это предположение уже делается при записи соотношения (II.2)), т.е. в пределах переходов в атоме частота полагается очень близкой к характерной частоте переходов , а энергия светового кванта очень близкой к энергии :

, (II.3)

, (II.4)

. (II.5)

Выражение (II.3) непосредственно получается из уравнения (II.2). Выражение (II.4) получено из (II.3) при использовании закона Больцмана (см. часть ”Принцип работы лазера”) при замене разности энергий величиной :

. Выражение (II.5) получается из (I.1) при замене частоты частотой . Выражения (II.4) и (II.5) имеют схожую структуру. Выражение (II.4) переходит в выражение (II.5), что должно быть в условиях термодинамического равновесия, если в (II.4) положить:

, (II.6)

. (II.7)

Выражения (II.6) и (II.7) показывают взаимосвязь интегральных коэффициентов Эйнштейна. В условиях термодинамического равновесия принцип детального равновесия справедлив также для чисел переходов, записанных для любого бесконечно малого интервала частот в пределах уширенных переходов в атоме, но теперь уже с использованием спектральных коэффициентов Эйнштейна , и , связанных через профиль уширения (см. часть ''Принцип работы лазера'') с интегральными коэффициентами Эйнштейна соотношениями: и . В этом случае для узкого перехода в атоме справедливы будут уравнение (II.2) и выражения (II.3) и (II.4) с заменой интегральных коэффициентов Эйнштейна , и на спектральные коэффициенты Эйнштейна , и . Сравнение теперь выражений (II.4) и (II.5) при замене в (II.4) отношений и отношениями и приводит к взаимосвязи спектральных коэффициентов , и , аналогичной связи интегральных коэффициентов согласно соотношениям (II.6) и (II.7):

, (II.8)

. (II.9)

Соотношение (II.7) было использовано ранее в виде соотношения (I.6). Соотношение (II.9) было использовано в выражениях (I.7) и (6) (см. часть ”Принцип работы лазера”).