Тема 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. ([1, § 3.6, 3.7]; [2, § 3.3, 3.4] или [3, § 3.6, 3.7, 3.12, 3.13]).

В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения), представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х n -мерного пространства ставится в соответствие один вектор y m -мерного пространства . При оператор обращает в себя.

Линейность оператора определяется выполнением свойств аддитивности и однородности оператора [1, § 3.6] или [3, § 3.6]. Нужно знать, что каждому линейному оператору соответствует матрица А в некотором базисе . Верно и обратное утверждение . С помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ – вектор y.

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора (матрицы А), а соответствующие им числа – собственных значений оператора (матрицы А). Точные определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в [1, § 3.7, пример 3.7] или [3, § 3.7, пример 3.7].

Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, пример 3.8] или [3, пример 3.8]).