Приклад .

Розглянемо граф електричної схеми зображеної на рис. 9.8.

Рисунок 9.8. Орієнтований граф для визначення другої матриці інциденцій

На приведеній схемі показані номери і напрямки усіх віток та номери вузлів. Число незалежних контурів

.

В контур І входять вітки 3, 4, 2, 1, причому напрямки віток 3 і 4 співпадають з напрямком обходу контуру, а напрямки віток 2 і 1 – протилежні йому. Вітка 5 не входить в контур 1, тому для першого рядка можна записати: –1 –1 1 1 0. Аналогічно для другого рядка (другого контуру)

–1 –1 0 0 1

Тоді матриця матиме вигляд

.

Кожний стовпець матриці відповідає вітці схеми і показує, в які контури входить ця вітка і з яким напрямком. Кожний рядок цієї матриці показує, з яких віток складається даний контур.

.

На рис. 9.9 показана відповідна узагальнена схема електричної системи. Тут всі параметри визначені матрицями.

Рисунок 9.9. Узагальнена схема електричної системи

Дерево схеми. Найменша частина замкнутої схеми, вітки якої з’єднують точку балансу з іншими її вузлами, називають деревом схеми. Число віток, які входять до дерева схеми, рівне числу незалежних вузлів. Дерево можна вважати основною частиною (скелетом) схеми (рис. 9.10).

Доцільно так складати матрицю , щоб перші її стовпці відповідали віткам дерева схеми. Наприклад, у схеми рис. 9.7 є три незалежні вузла, тому в дерево повинні входити лише три вітки, ще не утворюють замкнутого контуру, – наприклад, 1, 2 і 3 (рис. 9.10, б).

Якщо ці три стовпці записати у вигляді матриці окремо, то нова матриця буде квадратною (індекс показує, що матриця відноситься до дерева схеми). Порядок матриці , рівний числу віток, які входять до дерева схеми:

.

Ця матриця є першою матрицею інцинденцій для схеми, яка складається тільки з одного дерева.

Із однієї й тієї ж замкнутої схеми можна виділити декілька дерев. Вони відрізнятимуться лише складом віток схеми, що входять до них.

а) б)

Рисунок 9.10. Дерева графа (суцільні лінії) і хорди (штрихові лінії)

Хорди (з’єднання). Вітки замкнутої схеми, які не входять до складу дерева називаються хордами (з’єднаннями).

Якщо після нумерації віток дерева схеми інші вітки (хорди) позначити наступними номерами, то легко матрицю доповнити матрицею до матриці . Для цього в кожному черговому стовпці, номер якого рівний номеру відповідної хорди, «+1» записують у рядку, що відповідає номеру початкової вершини цієї вітки, а «–1» – у рядку, що відповідає номеру її кінцевої вершини.

Для схеми рис. 9.10, б матриця має вигляд:

. ()

Оскільки число віток у будь-якій схемі рівне сумі числа незалежних вузлів і числа незалежних контурів , то число хорд завжди рівне числу незалежних контурів схеми. Очевидно, що додавання хорд створює незалежний контур. Тому доцільно так вибирати незалежний контур, щоб кожна з хорд входила тільки в який-небудь один незалежний контур.

Раніше рівняння стану електричної системи були записані окремо () та ():

()

Ці рівняння, на загал, називаються повними рівняннями Кірхгофа.

Неважко побачити, що матриці і мають однакову кількість стовпців, рівну числу віток схеми, але різну кількість рядків, рівну, відповідно, числу незалежних вузлів і числу незалежних контурів. Звідки слідує, що об’єднавши матриці та отримаємо квадратну неособливу матрицю:

. ()

Об’єднавши матричні рівняння (), отримаємо необхідний вираз:

, ()

де: – блокова матриця активних параметрів схеми.

Запис рівняння стану в узагальненому вигляді () дає можливість отримати розв’язок:

. ()

Відомо, що для визначення робочого режиму складної схеми немає потреби в спільному розв’язанні системи рівнянь (). Наприклад, метод контурних струмів приводить до необхідності вирішення тільки рівнянь, які є контурними, а метод вузлових потенціалів приводить до спільного вирішення рівнянь, які є вузловими. Для скорочення числа спільно розв’язуваних рівнянь застосовується наступне.

Недоцільно визначати струми усіх віток. Схеми шляхом спільного розв’язку рівнянь, оскільки не всі струми є незалежними, якщо струми у вузлах відомі.

Розділивши рівняння () на блоки

. ()

і, виконавши операції множення, отримаємо

, ()

звідки

,

або

, ()

де .

Приклад. Дана схема електричної мережі (рис 9.11).

Рисунок 9.11. Схема (граф) електричної мережі

Задані струми у вітках 5, 4, які прийняті в якості хорд,

Схему рис. 9.11 можна спростити, подавши її у вигляді дерева:

Рисунок 9.12. Дерево графа, зображеного на рис. 9.11

Тепер струми в усіх інших вітках знаходяться безпосередньо

Ці струми складаються з задаючими струмами схеми:

.

Тоді, перемноживши на отримаємо:

.

Висновок: струми у вітках дерева залежать від струмів у хордах. Тобто, незалежними для будь-якої схеми є тільки струми в хордах.

Незалежні спади напруги у вітках схеми, знаходимо, якщо у рівнянні () розділити матриці на блоки:

, ()

звідки

, ()

або

; ()

. ()

Це означає, що достатньо знати спад напруги на вітках дерева схеми, щоб визначити напруги на інших вітках, тобто хордах. Очевидно, що робочий режим будь-якої схеми повністю визначається значенням падінь напруги, що входять в матрицю .