Узагальнене зображення схем та рівнянь електричних мереж

При узагальненому записі рівнянь:

()

з’являється можливість узагальненого зображення схем. Замість позначення на схемі окремих величин (опорів, ЕРС, струмів) можна користуватись умовними позначеннями цілих груп величин, які входять у відповідні матриці. Таке зображення дозволяє спростити принципову постановку задачі та її розв’язок. Наприклад, для рівняння () можна зобразити наступну схему:

Рисунок 9.6. Узагальнена схема електричної мережі

Тут у вигляді одного незалежного вузла представлені всі незалежних вузлів, матрицею представлені всі задаючі струми, прикладені до цих вузлів; матрицею – позначені спади напруг між цими вузлами і вузлом балансу, матрицею визначені всі вузлові опори.

Рисунок 9.7. Контурна узагальнена схема

На рис. 9.7 представлена схема у вигляді одного контуру. На ній показані матрицями всі характерні величини – контурні опори , контурні ЕРС і контурні струми . Тут в позначення контурних опорів входять не тільки власні опори контурів, але і загальні для них опори у відповідності з рівнянням:

. ()

Узагальнене представлення схем застосовується для наочності постановки задачі. Фактична схема з’єднань при цьому залишається невідомою. Але для вирішення конкретних завдань вона повинна враховуватись. Для вирішення практичних задач необхідно відображати характер з’єднання віток схеми двояким чином: у вузлах і в незалежних контурах. Для характеристики конкретної схеми з’єднань віток і застосовують матриці інциденцій (з’єднань).

Важливим є погодження позитивних напрямків для всіх використовуваних в розрахунках величин. Оскільки позитивні напрямки потрібні не тільки для визначення струмів у вітках, але й ЕРС та напруг, то доцільно відносити їх до кожної вітки схеми. Позитивні напрямки є умовними і приймаються довільно.

Рівняння Кірхгофа в узагальненій формі для будь-якого вузла схеми (перше рівняння стану електричної системи) має наступний вигляд:

, ()

де – комплексне значення задаючого струму у вузлі ;

– комплексне значення струму у вітці ;

– коефіцієнт матриці з’єднань.

Коефіцієнти можуть приймати тільки одне з трьох значень: +1; –1; 0.

, якщо струм по вітці має напрямок від вузла .

, якщо струм по вітці має напрямок до вузла .

, якщо вітка не з’єднана з вузлом , тобто струм не входить у рівняння балансу для вузла і схеми.

Рівняння () можна записати у матричному вигляді (див. рівняння ()).

Матриця відображає з’єднання віток у вузлах схеми.

Матриця широко застосовується для визначення співвідношень між вузловими величинами. Вона дозволяє визначити матрицю спадів напруги у вітках схеми (між початковими і кінцевими вершинами) по відомій матриці спадів напруги між кожним незалежним вузлом схеми і її базисним вузлом

, ()

де – транспонована матриця .

Аналогічно () рівняння другого закону Кірхгофа (друге рівняння стану) для кожного із незалежних контурів має наступний вигляд:

, ()

де – комплексне значення спаду напруги на опорі вітки ;

– комплексне значення контурної ЕРС, тобто сумарної ЕРС для контуру ;

– коефіцієнт (має три значення: +1; –1; 0).

Ці коефіцієнти визначаються:

, якщо напрямок струму по вітці , що входить до контуру , співпадає з напрямком обходу цього контуру;

, якщо напрямки протилежні;

, якщо вітка не входить у контур .

Рівняння () можна записати у матричній формі:

. ()

Тут матриця визначає з’єднання віток у незалежні замкнуті контури – друга матриця інциденцій.

Відзначимо, що матриці і відображують тільки електричні зв’язки. Наявність магнітних зв’язків в них не відображається.

Матриця застосовується при визначенні співвідношень між контурними величинами.

Вона дозволяє визначити контурні ЕРС схеми, якщо відомі ЕРС віток. Це записується наступним чином

. ()

При перемноженні матриці на матрицю отримуємо алгебраїчну суму ЕРС у всіх вітках даного контуру.

Із рівнянь () і () при відсутності в схемі ЕРС отримуємо:

. ()

Оскільки сумарні спади напруги на всіх вітках, які входять до кожного незалежного контуру системи, повинні рівнятись нулю, то

. ()

Якщо у рівняння () підставити вираз матриць і : та , то отримаємо друге рівняння стану електричної системи у більш детальній матричній формі:

()

або

, тобто ()

тут – матриця спадів напруги у вітках схеми.

При наявності ЕРС у вітках:

. ()

Рівняння () є виразом для закону Ома у матричній формі