Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства координат векторов
1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой. ► Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄ 2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю. ► Пусть () – (3.22) базис линейного пространства ; (3.23) разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄ 3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно. ► Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда () = = [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] = = (3.24) Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄ 4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. ► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда (3.25) Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: ◄ 5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно. Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то
|