Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин

1. Определяемая величина Z может быть суммой двух незави­симых измеренных величин X и Y, т.е.

полученных со случайными погрешностями ∆ Х и ∆ У, поэтому погрешность величины Z _і

Предположим, что величины X и Y измерялись п раз, тогда можно написать п равенств вида (3.13). Возведем каждое равен­ство в квадрат; полученные выражения сложим почленно, разде­лим на п и получим

В выражении (3.14) произведение ∆ Х_і • ∆ У_і представляет слу­чайную величину, обладающую свойствами 1) — 3) (см. § 3.1), поэтому последнее слагаемое правой части пренебрежимо мало или равно нулю. Согласно формуле (3.4) получим

или

Пример 2. В фигуре, состоящей из двух углов с общей вер­шиной и общей стороной, измерены значения этих углов β ₁ = 29°59' и β ₂ = 60° 01' со средними квадратическими погрешностями т₁₌т_{2 =} 0, 5. Вычислить суммарный угол β ₃ и его среднюю квадратическую погрешность т₃.

Решение. Искомый угол

, его средняя квадратическая погрешность

2. Для функции Z= X— У уравнение погрешности (3.13)
имеет вид ∆ Z_і=∆ Х_і—∆ У_і. Применив к ней формулу (3.14), последнее слагаемое получим со знаком " минус" и равным нулю, значит, дисперсия и средняя квадратическая погрешность вычисля­ются по формулам (3.15) и (3.16).

Пример 3. В фигуре, описанной в примере 2, измерен угол β ₃ = 90° 00' и его часть β ₂ = 60° 01'. Вычислить угол β ₁ и среднюю квадратическую погрешность т₁ результата, если т₃ = т₂ = 0, 5'.

Решение. Величина β ₁ = β ₃ - β ₂ = 29°59', ее средняя квадра­тическая погрешность, вычисленная по формуле (3.16), т₁ = 0, 7'.

3. Для функции нескольких слагаемых вида

дисперсия определяется по формуле

а средняя квадратическая погрешность суммарной величины Z

4. Для функции Z = КХ, где К — постоянная величина,

5. Для функции вида

средняя квадратическая погрешность

где К _і— постоянные величины.

Допустимая погрешность суммы равноточно измеренных величин. Пусть слагаемые X, Y..., t (см. формулу 3.17) измере­ны со случайными погрешностями ∆ _х, ∆ _у,..., ∆ _tв условиях равноточности (см. § 3.1), а сумма погрешностей равна

Обозначим через т _ісреднее квадратическое значение каждой случайной погрешности ∆ _і в формуле (3.23), тогда средняя квадратическая погрешность т _{Σ ∆} суммы значений ∆ _і выразится в со­ответствии с формулой (3.19) как

При равноточных измерениях считают, что средние квадратические значения

т _і случайных погрешностей ∆ _і одинаковы, т.е.

, тогда выражение (3.24) принимает вид

где т _∆ —средняя квадратическая погрешность отдельного резуль­тата равноточно измеренных величин; п — число слагаемых.

Допустимую величину погрешности (3.25) примем по усло­вию (3.10) равной ее удвоенному значению, тогда

Формула вида (3.26) применяется для обоснования допусти­мых погрешностей при измерениях углов в многоугольных фи­гурах, при нивелировании и т.д.