Системы счисления, методы перевода и формы представления чисел

Для отображения количественных характеристик описываемых объектов и последующей обработки этой информации были изобретены специальные знаки (цифры) и приемы их комбинирования.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр. В любой системе имеется ряд символов, называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определенных математических операций.

Системы счисления различаются набором базисных цифр, правилами образования из них чисел и выделяются два больших класса – непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская системы счисления, в которой в качестве цифр используются латинские буквы I, V, X, L, C, D, M в любой позиции обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.

В позиционных системах счисления значение любой базисной цифры зависит от ее места в записи числа, называемой позицией, а количество используемых базовых цифр – основанием системы счисления.

Привычной является индо-арабская десятичная системы счисления, в которой для записи любого числа используется 10 базисных цифр (от 0 до 9). Эта система основана на том, что десять цифр каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ – число, записанное в семеричной системе счисления. Число записанное в десятичной системе, основание не указывается.

Произвольное число Х в системе с основанием Р может быть представлено как X=a_nPⁿ+a_n-1P^n-1+…+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+…+a_-mP^-m+…, где a_i - цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035₁₀ = 1*10³+0*10²+3*10¹+5*10⁰; 1010₂ = 1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰ = 10.

Все позиционные системы счисления принципиально ничем не отличаются от привычной нам десятичной и обладают существенными преимуществами перед непозиционными:

- в них любое целое число записывается с помощью некоторых символов, каждый из которых в зависимости от занимаемого места имеет разное значение: в одном случае он означает число сотен, в другом – число десятков.

- в позиционных системах правила выполнения арифметических операций намного проще, всегда осуществляются по одной и той же схеме и требуют знания таблиц сложения и умножения только однозначных чисел.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. В 1673 г. Лейбниц предложил использовать двоичную систему в качестве универсального логического языка, удобную систему, позволяющая использовать очевидные технические и математические преимущества:

- аппаратная реализации позволяет применять физические элементы в 2-х возможных состояниях;

- представление информации с помощью только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво;

- возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований;

- двоичная арифметика проще десятичной.

В двоичной системы счисления для отображения числа используются только два символа: 0 и 1, называемые двоичными цифрами. Произвольное число Х в этой системе представляется суммой a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₁*2¹+a_-1*2^-1+…+a_-m*2^-m+…, где каждый коэффициент a_i равен 0 или 1. Запись числа в двоичном виде намного длиннее его записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются правилам, что и в десятичной, перенос единиц в старший разряд возникает чаще.

Таблица умножения: 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1.

Таблица сложения в двоичной системе: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=0; 1+1=0 (перенос единицы в старший разряд).

В восьмеричной системы счисления базисными числами являются 0, 1, 2,, 3, 4, 5, 6, 7. Например, десятичное число 85 в восьмеричной системе равно 125, т.к. 85 = 1*8² + 2*8¹ + 5.

В информатике чаще применяют компактную шестнадцатеричную систему, где для записи чисел используют десять арабских цифр (от 0 до 9) и шесть первых букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F,). Например, десятичное число 191, 5 в этой системе будет записано в виде BF.8; действительно, 11*16¹+15*16⁰+8*16^-1=176+15+8/16=191, 5.

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Компьютеры для выполнения арифметических и логических операций, хранения команд и данных используют двоичную систему. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяют для более компактной двоичной записи и при некоторых специальных форматах представления чисел (таблица 2.1).

Таблица 2.1 Таблица двоичных и шестнадцатиричных кодов

Одна из важных задач информатики – измерение объема информации, представленной в электронной форме. Элементарной единицей представления данных в ЭВМ является 1 двоичный разряд, называемый битом (bit, b inary digi t - двоичная цифра). Элементарной единицей обработки информации является байт, равный 8 битам (не считая служебных битов). Если 1 бит информации позволяет выбрать один вариант из 2-х возможных, то 1 байт 1 из 256 (2⁸). Так как традиционные таблицы кодировки символов содержат 256 элементов, то 1 байт можно считать равным 1 символьной информации, что позволяет связать измерение информации в двоичных разрядах с привычным ее измерением через количество символов текста.

Более крупная единица измерения информации – 1 Кбайт = 210 байт = 1024 байт. В килобайтах измеряют сравнительно небольшие объемы данных; нередко возникает потребность в более крупных единицах измерения (таблица 2.2).

Таблица 2.2 Единицы измерения информации