Анализ качества переходных процессов в САУ

7.1. Общие положения

Любая САУ, для того чтобы удовлетворять своему назначению, прежде всего должна быть устойчивой. Однако устойчивость является необходимым, но не достаточным условием технической пригодности САУ. Помимо устойчивости, к переходным процессам, протекающим в САУ, предъявляются требования, обуславливающие его качественные показатели. К числу таких показателей относят:

а) быстродействие САУ, которое характеризуется длительностью протекающего в ней переходного процесса;

б) точность системы, определяемую ошибкой отработки заданного значения выходной величины.

Рис. 7.1. Диаграмма качественных показателей переходного процесса

Кроме вышеуказанных показателей качества переходного процесса, могут рассматриваться также такие показатели, как запас устойчивости, величина перерегулирования, интегральные оценки, определяемые одновременно точностью и быстродействием САУ, и т.п. [1, 4, 6].

Требования, предъявляемые к качеству переходного процесса, можно графически представить в виде некоторой области, за пределы которой не должна выходить выходная регулируемая величина (рис. 7.1) в ходе протекания переходного процесса.

Существуют следующие методы исследования качества САУ:

1) прямые методы анализа качества САУ, предполагающие получение тем или иным способом графика переходного процесса, который в дальнейшем анализируется с использованием различного рода ограничений. График переходного процесса может быть получен из аналитического решения дифференциального уравнения (2.1) либо с применением численных методов решения уравнения (2.1) (см. п. 2.4). В последнее время широкое распространение получили численные методы решения дифференциального уравнения (2.1), позволяющие получить приближённое его решение. Данные численные методы предполагают применение вычислительной техники.

2) косвенные методы анализа качества САУ, позволяющие оценивать качество переходного процесса без получения графика самого переходного процесса. Среди данных методов широкое распространение получили метод нахождения распределения корней характеристического уравнения системы; интегральный метод и частотный метод [1, 6].

7.2. Оценка точности систем автоматического управления

Точность САУ характеризуется ошибкой отработки задающего воздействия, которая в общем виде может быть определена как

. (7.1)

В установившемся режиме, при t®¥, выходная величина y(t) стремится к , поэтому в установившемся режиме ошибка САУ определяется следующим образом:

. (7.2)

Как следует из (7.2), представляет собой некоторую функцию времени. Для определения этой функции воспользуемся выражением (3.36), согласно которому ошибка САУ

, (7.3)

где – передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

. (7.4)

Разложив в ряд Тейлора, получаем

. (7.5)

После введения обозначений при k=0, …, ¥ выражение (7.5) примет следующий вид:

. (7.6)

В выражении (7.6) коэффициенты (k=0, …, ¥) называются коэффициентами ошибки. Применяя к правой и левой частям последнего выражения обратное преобразование Лапласа, получаем

. (7.7)

Рассмотрим некоторые частные случаи определения ошибок САУ:

1) установившийся режим работы САУ, в которой отсутствуют интегрирующие звенья, входное задающее воздействие при этом постоянное и равно y_З. Установившемуся режиму (t®¥) соответствует p=0. В этом случае (7.7) принимает следующий вид:

. (7.8)

Коэффициент ошибки С₀ может быть определён как

. (7.9)

Учитывая, что передаточная функция W(p) для данного типа САУ определяется выражением вида

, (7.10)

тогда при p=0

, (7.11)

где k – некоторая константа, называемая коэффициентом преобразования системы. Подставляя (7.11) в (7.9), а затем (7.9) в (7.8) и применяя к правой и левой частям выражения обратное преобразование Лапласа, получаем ошибку замкнутой САУ в установившемся режиме

. (7.12)

Таким образом, в САУ, у которых отсутствуют интегрирующие звенья, или в статических системах в установившемся режиме всегда присутствует статическая ошибка , называемая статизмом системы;

2) установившийся режим работы САУ, в которой присутствуют интегрирующие звенья, входное задающее воздействие при этом постоянное и равно y_З. Тогда передаточная функция W(p) для такой САУ будет иметь вид

. (7.13)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке Ф_x(p) согласно (3.35) определится как

,

или

. (7.14)

При p=0, что соответствует установившемуся режиму работы САУ, и, следовательно, С₀=0. Согласно (7.8)

Dy(t)=0, (7.15)

откуда следует, что в астатических системах статическая ошибка отсутствует;

3) установившийся режим работы САУ, в которой входное задающее воздействие y_З(t) является функцией времени. Скорость изменения y_З(t) много меньше скорости протекания переходных процессов в самой САУ. Вне зависимости, присутствуют в САУ интегрирующие звенья или нет, ошибка системы будет определяться выражением (7.7)

, (7.16)

где коэффициенты ошибки определяются по формуле

при k=0, …, ¥. (7.17)