Устойчивость САУ

6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления

Динамика САУ характеризуется переходным процессом, возникающим в ней под действием какого-либо возмущения (управляющего воздействия, помехи, изменения нагрузки и др.). Вид переходного процесса в САУ зависит как от свойств самой САУ, так и от вида действующего на неё возмущения. В зависимости от вида переходного процесса в САУ различают следующие их разновидности.

Устойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий спустя некоторый промежуток времени возвращается к установившемуся состоянию равновесия.

Неустойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий не возвращается к установившемуся состоянию равновесия. Отклонение системы от состояния равновесия будет либо всё время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме незатухающих постоянных колебаний.

Графики кривых переходных процессов, характерные для устойчивых и неустойчивых САУ, представлены на рис. 6.1. Очевидно, что работоспособная САУ должна быть устойчивой.

а)	Примеры устойчивости и неустойчивости некоторой системы можно также иллюстрировать на следующих примерах (рис. 6.2). На рис. 6.2а приведён пример неустойчивой системы – при малейшем отклонении шара от начального устойчивого положения он скатывается по склону поверхности и в исходное положение не возвращается; рис. 6.2б иллюстрирует пример устойчивой системы, поскольку при любом отклонении шар обязательно возвратится к первоначальному положению; рис. 6.2в показывает систему, устойчивую при некоторых малых возмущающих воздействиях. Как только возмущающее воздействие превышает некоторую величину, система теряет устойчивость. Такие системы называют устойчивыми в малом и неустойчивыми в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального возмущающего воздействия.
б)
Рис. 6.1. Виды кривых переходного процесса в устойчивой (а) и в неустойчивой (б) САУ: 1 – апериодический переходный процесс; 2 – колебательный переходный процесс

а)	б)	в)
Рис. 6.2. Физическая трактовка понятия устойчивости САУ: а) САУ неустойчива; б) САУ устойчива; в) САУ устойчива в малом и неустойчива в большом

Анализ работоспособности или устойчивости линейной САУ можно провести с использованием её математической модели. Как было показано ранее, линейная САУ может быть описана дифференциальным уравнением (2.1). Решение данного дифференциального уравнения в общем случае имеет вид (2.3)

,

где – свободная составляющая решения уравнения (2.1), которая определяется начальными условиями и свойствами рассматриваемой САУ;

– вынужденная составляющая решения уравнения (2.1), определяемая возмущаемыми воздействиями и свойствами рассматриваемой САУ.

Устойчивость САУ характеризуется процессами, происходящими внутри самой САУ. Эти процессы определяются видом свободной составляющей решения уравнения (2.1). Следовательно, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо выполнение следующего условия:

. (6.1)

В свою очередь, в общем виде может быть представлена как

, (6.2)

где – корни, получаемые при решении характеристического уравнения (2.7). В табл. 6.1 приводятся некоторые разновидности переходных процессов в САУ, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (2.7).

Таблица 6.1

Разновидности переходных процессов в САУ в зависимости от вида корней

характеристического уравнения (2.7)

№ п.п	Вид корней уравнения (2.7)	Вид	График переходного процесса для корня уравнения (2.7)	Разновидность системы
	корни действительные, отрицательные, при этом		апериодический затухающий	устойчивая

Окончание табл. 6.1

	среди корней (п.1) присутствует m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых отрицательная:		колебательный затухающий	устойчивая
	корни де­й­­­ст­ви­те­льные, поло­жительные, при этом		апериодический расходящийся	неустойчивая
	среди корней (п.1) присутствует m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых положительная:		колебательный расходящийся	неустойчивая
	среди корней (п.1) присутствует пара комплексных корней, действительная часть которых равна нулю:		незатухающие колебания	система на грани устойчивости (чисто теоретический случай)

Для выполнения условия (6.1) необходимо, чтобы каждое слагаемое выражение (6.2) при t®¥ стремилось бы к нулю. Как следует из анализа приводимых в табл. 6.1 примеров переходных процессов в САУ, для этого необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (2.7) были отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной действительной частью. Если среди корней характеристического уравнения (2.7) будет хотя бы один положительный вещественный корень или пара сопряжённых комплексных корней с положительной действительной частью, тогда рассматриваемая САУ будет неустойчива, поскольку слагаемое уравнения (6.2), соответствующее данному корню, при t®¥ будет неограниченно увеличиваться.

На рис. 6.3 и 6.4 приведены примеры расположения корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующие устойчивой и неустойчивой САУ. Как следует из этих примеров, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения САУ находились слева от мнимой оси.

Рис. 6.3. Расположение корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующее устойчивой системе

Рис. 6.4. Расположение корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующее неустойчивой системе

Для анализа устойчивости САУ по виду корней её характеристического уравнения требуется найти аналитическое решение дифференциального уравнения (2.1), что является достаточно трудоёмкой задачей, а в некоторых случаях – невозможной. Поэтому на практике широкое распространение получили критерии устойчивости, под которыми понимается следующее.

Критерий устойчивости – совокупность признаков, позволяющих иметь представление о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения. Существуют следующие разновидности критериев устойчивости:

− алгебраические критерии устойчивости (критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица). Для анализа устойчивости САУ в данном случае используются коэффициенты характеристического уравнения системы;

− частотные критерии устойчивости (критерии Найквиста, Михайлова). Данные критерии устойчивости предполагают применение частотных характеристик системы.

Применение того или иного критерия устойчивости позволяет судить об устойчивости САУ более просто и эффективно, чем при решении описывающего её дифференциального уравнения (2.1). Кроме этого, некоторые критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости САУ и наметить пути по достижению устойчивости системы.

6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Данный вид алгебраического критерия является наиболее распространённым на практике для исследования устойчивости САУ. Исходными данными для исследования устойчивости в данном случае является характеристическое уравнение замкнутой САУ

. (6.3)

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.3) составляется матрица (6.4), размерность которой равна порядку характеристического уравнения (6.3). Матрица (6.4) составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с C₁. Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени порядка характеристического уравнения n заменяются нулями.

(6.4)

Условия устойчивости по Гурвицу: для устойчивости САУ, имеющей характеристическое уравнение (6.3), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (6.3) были положительны, а также были положительны n определители, составленные из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Для составления определителя 1, 2, …, n -го порядка берутся 1, 2, …, n столбцов и строк. Приводимые ниже примеры иллюстрируют это правило.

Пример 1. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 2–го порядка:

, (6.5)

матрица (6.4) запишется как

. (6.6)

Определители D₁, D₂, составленные на основе (6.6), имеют вид

; (6.7)

. (6.8)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C₀, C₁, C₂ будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.7) и (6.8).

Пример 2. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 3-го порядка:

, (6.9)

матрица (6.4) запишется как

. (6.10)

Определители D₁ – D₃, составленные на основе (6.10), имеют вид

; (6.11)

, (6.12)

. (6.13)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C₀ – C₃ будут больше нуля, а также будет положительным определитель (6.12).

Пример 3. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 4-го порядка:

, (6.14)

матрица (6.4) запишется как

. (6.15)

Определители D₁ – D₄, составленные на основе (6.15), имеют вид

; (6.16)

, (6.17)

, (6.18)

. (6.19)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C₀ – C₄ будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.16)–(6.19).

Алгебраический критерий Гурвица позволяет наглядно оценить влияние того или иного параметра на устойчивость САУ в целом. Предположим, что для рассматриваемой САУ, математическая модель которой имеет характеристическое уравнение (6.3), необходимо исследовать влияние значения параметра С_n на устойчивость. Для этого, придавая ряд допустимых значений для С_n, вычисляем n определителей, составленных из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Каждый из определителей D_i где i=0,.., n будет представлять собой функцию, зависящую от параметра С_n, которую можно представить в виде графика (рис. 6.5). Изобразив на одном графике функции D_i(С_n), где i=0,.., n, определяем на оси абсцисс отрезок изменения С_n, на протяжении которого все n определителей будут положительные (на рис. 6.5 этот отрезок выделен жирной линией). Следовательно, согласно критерию Гурвица при значениях С_n, которые принадлежат выделенному отрезку, система будет устойчивой. Если после построения графиков функции D_i(С_n), где i=0,.., n, на оси абсцисс невозможно выделить отрезок изменения С_n, на протяжении которого все n определителей будут положительные (рис. 6.6), это говорит о том, что изменением значения С_n привести САУ к состоянию устойчивости невозможно.

Рис. 6.5. Кривые определителей Гурвица соответствующие устойчивой системе

Рис. 6.6. Кривые определителей Гурвица соответствующие неустойчивой системе

Применение алгебраического критерия устойчивости Гурвица предполагает, что дифференциальное уравнение, описывающее САУ (6.3), известно и достаточно точно известны его коэффициенты. В некоторых случаях на практике выполнить данные условия невозможно. Кроме этого, с увеличением порядка характеристического уравнения САУ (6.3) увеличивается сложность вычисления определителей, составляемых на основе матрицы (6.4). Поэтому на практике получили распространение также частотные критерии устойчивости, которые позволяют оценить устойчивость системы, даже если дифференциальное уравнение (2.1) неизвестно, а в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики рассматриваемой САУ.

6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста

Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Один из таких критериев – критерий Найквиста или частотный амплитудно-фазовый критерий. Данный вид критерия является следствием теоремы Коши. Доказательство справедливости критерия Найквиста приводится в [1, 6]. Рассматриваемый критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ этой САУ в разомкнутом состоянии, поскольку данное исследование выполнить проще.

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста является её АФЧХ, которая может быть получена либо экспериментально, либо с использованием известного выражения для передаточной функции разомкнутой САУ (3.6) путём замены p=jw.

Условия устойчивости по Найквисту:

1) если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от – ¥ до + ¥, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0);

2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k корней в правой полуплоскости, то АФЧХ САУ при изменении w от – ¥ до + ¥ должна охватывать k раз точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Угол поворота вектора W(jw) должен составлять при этом 2p k.

Замкнутая САУ будет устойчива, если при изменении w от 0 до + ¥ разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (– ¥, –1) будет равна k/2, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. За отрицательный переход годографа вектора W(jw) считается его переход из нижней полуплоскости в верхнюю при возрастании w. За положительный переход годографа вектора W(jw) принимается его переход из верхней полуплоскости в нижнюю при той же последовательности изменения частоты.

При отрицательном знаке у комплексной частотной характеристики указанные выше положения определяются точкой (+1, j 0).

Критерий Найквиста справедлив также для случая, когда полином С(p) в (3.6) САУ имеет нулевой корень, что соответствует значению АФЧХ, равному бесконечности. Для исследования устойчивости таких САУ необходимо мысленно дополнить годограф АФЧХ окружностью бесконечного радиуса и замкнуть годограф с вещественной полуосью в кратчайшем направлении. Далее проверить соблюдение условий устойчивости по Найквисту и сделать выводы.

Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ приведены на рис. 6.7, 6.8.

а)	б)
Рис. 6.7. Примеры АФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ: а) АФЧХ разомкнутых САУ; б) АФЧХ разомкнутых САУ, у которых в полиноме С(p) передаточной функции (3.6) имеется нулевой корень

Рис. 6.8. АФЧХ САУ, неустойчивых в разомкнутом состоянии (число корней полинома С(p) в (3.6) в правой полуплоскости равно 2): 1 – САУ, устойчивая в замкнутом состоянии; 2 – САУ, неустойчивая в замкнутом состоянии

6.4. Логарифмический критерий устойчивости

Данный критерий устойчивости есть интерпретация частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Рассмотрим две АФЧХ (рис. 6.9), соответствующие разомкнутой САУ, при этом АФЧХ (1) соответствует САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии, АФЧХ (2) – САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Введём характерные точки рассматриваемых АФЧХ: w_1с, w_2с – точки, соответствующие частотам, при которых амплитуды векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными единице. Данная частота носит название частоты среза. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, центр которой находится в начале координат (на рис. 6.9 эта окружность изображена пунктирной линией). Эта же точка соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 6.10); w_1p, w_2p – точки, соответствующие частотам, при которых фазы векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными –180^О. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с вещественной отрицательной полуосью. Эта же точка соответствует точке пересечения ЛФЧХ с осью абсцисс при условии, что ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 6.10.

Рис. 6.9. АФЧХ САУ: 1 – неустойчивой в разомкнутом состоянии; 2 – устойчивой в разомкнутом состоянии	Рис. 6.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ

Рис. 6.11. АФЧХ САУ, имеющая несколько точек пересечения с вещественной осью	Рис. 6.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ, имеющей несколько точек пересечения с вещественной осью (см. рис. 6.6)

Согласно критерию устойчивости Найквиста, если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от – ¥ до + ¥, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Другими словами, как следует из рис. 6.9, система будет устойчива, если w_p> w_с, в противном случае (w_p< w_с) система будет неустойчива. Если проводить анализ об устойчивости системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 6.10), тогда можно утверждать, что если частота среза w_с располагается на оси частот левее частоты w_p, то такая САУ будет устойчива в разомкнутом состоянии, в противном случае САУ в разомкнутом состоянии будет неустойчивой.

Если число точек пересечения АФЧХ и отрицательной вещественной полуоси на отрезке (– ¥, –1) при изменении w от 0 до + ¥ больше одной (рис. 6.11), тогда, для того чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы количество таких точек на отрезке (– ¥, –1) было чётным. При этом ЛФЧХ должна пересечь чётное количество раз ось абсцисс на отрезке от 0 до частоты среза w_с (рис. 6.12).

Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которые в разомкнутом состоянии неустойчивы и имеют k -корней, лежащих справа от мнимой оси, логарифмический критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом: подобные САУ будут устойчивы, если разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение –180°, лежащих на отрезке от 0 до w_С, будет равна k/2. Напомним, что за положительный переход характеристики принимается её переход из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании w. За отрицательный переход характеристики принимается её переход из нижней полуплоскости в верхнюю при той же последовательности изменения частоты. Частотные характеристики САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, у которой k=1, приведены на рис. 6.13, 6.14.

Рис. 6.13. АФЧХ САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состояний (число корней характеристического уравнения, лежащих справа от оси мнимых чисел, равно 1)	Рис. 6.14. ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ, соответствующие АФЧХ САУ на рис. 6.13

6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова является АФЧХ замкнутой системы, которая может быть получена с помощью характеристического полинома замкнутой САУ (3.35), имеющего порядок n:

. (6.20)

Условия устойчивости по Михайлову: если вектор , характеризующий замкнутую САУ, при изменении w от – ¥ до + ¥ описывает в положительном направлении (не изменяя направления) угол, равный np (где n – степень характеристического полинома (6.20)), то такая САУ будет устойчивой. В противном случае САУ будет неустойчивой. Доказательство данного утверждения приводится в [6].

Поскольку годограф кривой вектора передаточной функции замкнутой САУ симметричен, допускается ограничиться рассмотрением лишь его части, соответствующей изменениям w от 0 до + ¥. При этом угол, описываемый вектором , при изменении w от 0 до + ¥ уменьшится вдвое.

На рис. 6.15, 6.16 приведены примеры годографов вектора , соответствующие устойчивой, неустойчивой и нейтральной САУ (системы, находящейся на грани устойчивости).

Рис. 6.15. Вид годографов вектора для замкнутой САУ, соответствующий устойчивым САУ, при этом: 1 – n= 3; 2 – n= 5; 3 – n= 4

Рис. 6.16. Вид годографов вектора для замкнутой САУ соответствующий: 1 – неустойчивой САУ; 2 – нейтральной САУ (система находится на грани устойчивости)

6.6. Построение областей устойчивости САУ

Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить, устойчива рассматриваемая САУ при заданных параметрах или нет. Если САУ неустойчива, часто приходится искать ответ на вопрос: в чём причина неустойчивости, и определить пути её устранения. Кроме оценки устойчивости, на практике часто возникает необходимость определения путей повышения динамических показателей САУ. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью существующих критериев устойчивости САУ, однако наиболее эффективно они решаются путём построения областей устойчивости и неустойчивости САУ.

Предположим, что рассматриваемая САУ неустойчива и при этом она может быть представлена линейным дифференциальным уравнением (2.1), характеристическое уравнение которого будет иметь следующий вид (6.3):

. (6.21)

Рис. 6.17. Области устойчивости САУ при изменении одного параметра (Сn)

Далее предположим, что коэффициенты С₀–С_n-1 данного характеристического уравнения заданы, а коэффициент С_n может изменяться в диапазоне С_{n (min)} – С_{n (max)}. Задавая ряд значений для С_n из указанного диапазона, находим в пределах этого диапазона отрезки, на протяжении которых С_n имеет такие значения, при которых САУ будет устойчивой (рис. 6.17), т.е. все корни характеристического уравнения (6.21) будут лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Граничные точки «отрезков устойчивости» соответствуют значениям С_n, при которых САУ находится на грани устойчивости.

В уравнении (6.21) могут изменяться два и более коэффициентов. Если в нём изменяются два коэффициента (предположим, что это С₀ и С_n), тогда проводится исследование зависимости устойчивости САУ от значений коэффици-

Рис. 6.18. Области устойчивости САУ при изменении двух параметров (С0 и Сn)

ентов С₀ и С_n путем задания ряда значений этим коэффициентам из некоторых допустимых диапазонов и проверка устойчивости САУ при выбранных значениях С₀ и С_n. В этом случае области устойчивости будут представлять собой некоторые участки на плоскости координат изменяемых коэффициентов С₀ и С_n (рис. 6.18). Границей устойчивости системы в данном случае будет кривая, ограничивающая области устойчивости.

Если в характеристическом уравнении изменяются в некоторых допустимых пределах три параметра (например, С₀, С₁ и С_n), тогда при исследовании зависимости устойчивости САУ от значений С₀, С₁ и С_n будет найдена область устойчивости САУ, которая будет представлять собой часть пространства, ограниченную некоторой сложной поверхностью (рис. 6.19). Эта сложная поверхность в данном случае будет границей устойчивости САУ.

Рис. 6.19. Область устойчивости САУ при изменении трёх параметров
(С₀, С₁ и С_n)

В общем случае, если предположить, что в характеристическом уравнении (6.21) все входящие в него коэффициенты С₀ - С_n могут изменяться в некоторых допустимых пределах, тогда устойчивость САУ можно рассматривать как логическую функцию, определённую в некотором многомерном пространстве. В одних точках этого многомерного пространства эта функция будет принимать значение «Истина» (САУ устойчива), в других – «Ложь» (САУ неустойчива). Каждой точке такого пространства (пространства коэффициентов) будут соответствовать определённые значения С₀ - С_n, которые являются его координатами. Гиперповерхность, ограничивающая область устойчивости САУ, будет являться границей области устойчивости в рассматриваемом пространстве коэффициентов.

При определении областей устойчивости САУ может быть выделена одна область устойчивости, может быть выделено несколько областей устойчивости, а может быть не выделено ни одной.