Нормальное распределение. Распределение непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность вероятности этой величины имеет вид .

Распределение непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность вероятности этой величины имеет вид .

Кривая нормального распределения (график плотности вероятности нормального распределения) имеет вид симметричного гладкого пика сходящего к нулю при движении в бесконечность (эти части распределения иногда называют «хвостами распределения»).

Нормальному распределению подчиняется абсолютное большинство случайных величин, встречающихся в природе и практической деятельности. Многие дискретные случайные величины, встречающиеся в природе, подчиняются законам распределения, напоминающим нормальный. Причиной этого является следующий факт. Если случайная величина приобретает своё значение вследствие действия множества случайных факторов и каждый из этих факторов не оказывает решающего влияния на это значение, то чем больше таких факторов, тем ближе закон распределения случайной величины к нормальному. На реальные же случайные величины оказывает влияние огромное количество таких факторов.

Примеры: рост и вес человека, площадь и линейные размеры листьев клёна.

Нормальное распределение зависит от двух параметров m и , первый из которых является математическим ожиданием, а второй среднеквадратичным отклонением нормально распределённой случайной величины. Эти параметры связаны с видом кривой нормального распределения. Параметр m определяет положение пика (абсцисса максимума этого пика). Параметр определяет высоту и ширину пика. Чем больше этот параметр, тем ниже высота пика и тем более полого происходит убывание функции при переходе от пика к «хвостам распределения» (это связано с тем, что площадь фигуры под кривой распределения численно равна 1).

Для всех нормально распределённых случайных величин соответствующей стандартной случайной величиной будет одна случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Её плотность вероятности имеет вид . Этот факт используется при вычислении вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный промежуток.

Идея этого приёма состоит в отображении рассматриваемого нормального распределения на стандартное нормальное распределение и вычисление вероятности попадания стандартной нормальной величины в соответствующий отрезок. Удобство такого приёма обусловлено тем, что в результате применения формулы для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в промежуток к стандартному нормальному распределению после преобразований получаем разность значений функции, фигурировавшей в интегральной формуле Лапласа:

, или кратко:

.

Глава 7: Закон больших чисел

Закон больших чисел играет центральную роль в теории вероятностей. Теория вероятностей является содержательной благодаря существованию этой закономерности. Закон больших чисел служит основой практического применения теории вероятностей, являясь основанием для применения статистических методов.

Если рассматривать некоторое случайное явление, то при наблюдении его однократно или небольшого числа раз, наблюдать какие-либо закономерности не удаётся. В этом проявляется природа случайности. Если наблюдать случайное явление многократно, то можно заметить некоторые закономерности не при наблюдении отдельных явлений, а при анализе общих результатов серии испытаний (или каких-либо усреднённых характеристик). Такие закономерности выполняются тем точнее, чем большее количество случайных явлений наблюдается. Если предположить, что есть возможность наблюдать все случайные явления из рассматриваемой группы, то обнаруженные закономерности в таких условиях будут выполняться точно.

Явление существования закономерностей для множества однотипных случайных явлений, проявляющихся с ростом количества рассматриваемых однотипных явлений и выполняющихся тем точнее, чем больше это количество, называется закон больших чисел.

На практике начиная с некоторого количества наблюдаемых случайных явлений закономерность наблюдается настолько точно, что случайные отклонения от неё находятся в пределах допустимой погрешности (или доступной точности измерения). Это позволяет в практических исследованиях ограничиться рассмотрением конечного числа однотипных случайных явлений.

Закон больших чисел является обобщённым названием большого количества разных закономерностей. Существует множество формулировок закона больших чисел, отражающих различные закономерности случайных явлений.

Часть 2: математическая статистика

Статистика занимается разработкой и применением статистических методов обработки данных о массовых явлениях. На основании полученных экспериментальных данных статистика решает следующие основные задачи:

1. определяет общий вид закона распределения случайной величины;

2. оценивает вероятности событий;

3. оценивает параметры распределения случайной величины при известной или неизвестной форме закона распределения.

Глава8: Статистическая обработка данных

При исследовании массовых явлений исследуемые объекты можно рассматривать двояко:

1. как объекты, обладающие некоторыми характеристиками;

2. как значения случайной величины.

Первый подход используется при практическом применении статистики и интерпретации полученных сведений. Второй подход используется при разработке и изучении методов статистической обработки данных.