Метод Монте-Карло и его потенциальная точность.

Метод Монте-Карло или метод статистических испытаний является методом численного решения вероятностных задач. Метод может быть реализован как на физической (натурной), так и на математической модели. Его принципиальное отличие от метода матричных испытаний – учет вида законов распределения первичных параметров, что позволяет получать более достоверные результаты анализа.

Для при­ме­не­ния ме­то­да Мон­те-Кар­ло не­об­хо­ди­мо знать ве­ро­ят­но­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки па­ра­мет­ров всех ком­по­нен­тов и уметь вы­чис­лять зна­че­ние вы­ход­но­го па­ра­мет­ра y = j(x­ _1, x ₂,.., x_n) по лю­бым фик­си­ро­ван­ным зна­че­ни­ям пер­вич­ных па­ра­мет­ров x_i. Ве­ро­ят­но­ст­ное рас­пре­де­ле­ние па­ра­мет­ров для кон­крет­но­го ком­по­нен­та мож­но по­лу­чить экс­пе­ри­мен­таль­но, пу­тем про­смот­ра боль­шой пар­тии ком­по­нен­тов та­ко­го ти­па. Весь­ма час­то это рас­пре­де­ле­ние ока­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным.

Схе­ма рас­че­та ока­зы­ва­ет­ся очень про­стой: для ка­ж­до­го ком­по­нен­та ге­не­ра­то­ром слу­чай­ных чи­сел вы­би­ра­ет­ся зна­че­ние его па­ра­мет­ра, за­тем по фор­му­ле y = j(x­ _1, x ₂,.., x_n) вы­чис­ля­ет­ся зна­че­ние y. По­вто­рив этот опыт N раз, и по­лу­чив зна­че­ния y ₁, y ₂, …, y_N, мож­но рассчи­тать оценки математического ожидания m_y и дисперсии D_y

В ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ке до­ка­зы­ва­ет­ся, что при не­боль­ших значениях N в вы­ра­же­нии для дис­пер­сии луч­ше ис­поль­зо­вать мно­жи­тель 1 /(N -1).

При мо­де­ли­ро­ва­нии мож­но по­лу­чить го­раз­до боль­ше по­лез­ной ин­фор­ма­ции, а не толь­ко m_y и D_y ин­те­ре­сую­щей нас ве­ли­чи­ны. По боль­шо­му ко­ли­че­ст­ву зна­че­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны y мож­но по­стро­ить при­бли­жен­ную плот­ность ее рас­пре­де­ле­ния.

Пред­по­ло­жим, что в ре­зуль­та­те реа­ли­за­ции ме­то­да Мон­те-Кар­ло по­лу­че­но все­го N = 120 зна­че­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны y ₁, y ₂, …, y ₁₂₀ и все они, на­при­мер, по­па­ли в пре­де­лы 1£ y_j £ 6, 5. Ра­зо­бьем ин­тер­вал [1…6, 5] на 11 (лю­бое чис­ло, не слиш­ком боль­шое и не слиш­ком ма­лое) рав­ных уча­ст­ков (кван­тов) дли­ной D y = 0, 5 и под­счи­та­ем, сколь­ко зна­че­ний y_j по­па­ло в ка­ж­дый уча­сток.

Час­то­та по­па­да­ния в ка­кой-ли­бо квант по­лу­ча­ет­ся де­ле­ни­ем чис­ла по­па­да­ний на N = 120. В этом при­ме­ре час­то­ты со­от­вет­ст­вен­но рав­ны: 0, 017; 0; 0, 008; 0, 12; 0, 20; 0, 27; 0, 14; 0, 16; 0, 06; 0, 008; 0, 017. Над ка­ж­дым из кван­тов раз­бие­ния по­стро­им пря­мо­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го рав­на чис­лу по­па­да­ния y_j в этот квант. По­лу­чен­ный гра­фик на­зы­ва­ют гис­то­грам­мой (рис. 10.9). Гис­то­грам­ма слу­жит при­бли­же­ни­ем к ис­ко­мой плот­но­сти вероятностей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны y. По­это­му, на­при­мер, ес­ли по­стро­ить гис­то­грам­му с вы­со­той пря­мо­уголь­ни­ков, со­от­вет­ст­вую­щей час­то­те по­па­да­ния p_k^*, k = {1, 11}, а полную пло­щадь гис­то­грам­мы при­нять рав­ной еди­ни­це, то часть пло­ща­ди, за­клю­чен­ная ме­ж­ду зна­че­ния­ми y = 2, 5 и
y = 5, 5, характеризует при­бли­жен­ное зна­че­ние ве­ро­ят­но­сти по­па­да­ния зна­че­ния вы­ход­но­го па­ра­мет­ра y в этот ин­тер­вал
P (2, 5 < y < 5, 5)» 0, 94­. Следовательно, на основании проведенного рас­че­та (опы­та) мож­но счи­тать, что с ве­ро­ят­но­стью, при­бли­зи­тель­но рав­ной 0, 94, ве­ли­чи­на y за­клю­че­на в ин­тер­ва­ле (2, 5 < y < 5, 5).

Итак, ме­тод Мон­те-Кар­ло яв­ля­ет­ся ме­то­дом чис­лен­но­го ре­ше­ния ве­ро­ят­но­ст­ных за­дач пу­тем мо­де­ли­ро­ва­ния слу­чай­ных зна­че­ний пер­вич­ных па­ра­мет­ров. Прин­ци­пи­аль­ное его от­ли­чие от ме­то­да мат­рич­ных ис­пы­та­ний – учет ви­да рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных зна­че­ний пер­вич­ных па­ра­мет­ров, что по­зво­ля­ет по­лу­чить бо­лее дос­то­вер­ные ре­зуль­та­ты рас­пре­де­ле­ния зна­че­ний вы­ход­но­го па­ра­мет­ра. Наи­бо­лее пол­но эф­фек­тив­ность ме­то­да Мон­те-Кар­ло реа­ли­зу­ет­ся при ре­ше­нии пря­мых за­дач тео­рии точ­но­сти (за­да­чи ана­ли­за). Ес­ли осу­ще­ст­ви­мо про­ве­де­ние мно­го­ша­го­во­го экс­пе­ри­мен­та, то воз­мож­но его ис­поль­зо­ва­ние для ре­ше­ния об­рат­ных за­дач (за­дач син­те­за).

Пред­по­ло­жим, что ана­ли­зом прак­ти­че­ских рас­пре­де­ле­ний слу­чай­ных от­кло­не­ний пер­вич­ных па­ра­мет­ров объ­ек­та от сво­их но­ми­наль­ных зна­че­ний установлены виды за­ко­нов рас­пре­де­ле­ния с их чи­сло­вы­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми. С це­лью ре­ше­ния пря­мой за­да­чи диа­па­зон от­кло­не­ний зна­че­ний пер­вич­ных па­ра­мет­ров раз­би­ва­ют на 10-20 кван­тов, для ка­ж­до­го из ко­то­рых те­перь уже из­вест­на час­то­та по­па­да­ния в не­го зна­че­ний пер­вич­ных па­ра­мет­ров.

Даль­ней­шие дей­ст­вия осу­ще­ст­в­ля­ют­ся ша­га­ми. На ка­ж­дом ша­ге про­из­во­дят форми­ро­ва­ние на­бо­ра сочетаний кван­тов всех пер­вич­ных па­ра­мет­ров – об­ра­зу­ет­ся так на­зы­вае­мая «си­туа­ция» (рис. 10.10). На­зна­че­ние кван­тов про­из­во­дят с по­мо­щью ге­не­ра­то­ра слу­чай­ных чи­сел, у ко­то­ро­го за­ра­нее вве­дены за­коны рас­пре­де­ле­ния ка­ж­до­го пер­вич­но­го па­ра­мет­ра, которые соответствуют их реальному виду из практики. Ре­зуль­та­том реа­ли­за­ции последовательности случайных си­туа­ций яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во зна­че­ний вы­ход­но­го па­ра­мет­ра { y ₁, y ₂, …, y_N, }. Этот набор случайных значений выходного параметра позволяет построить гис­то­грам­му, вы­чис­лить оценку ве­ро­ят­ности по­па­да­ния зна­че­ний вы­ход­но­го па­ра­мет­ра в ус­та­нов­лен­ный до­пуск P^*, найти оценку математического ожидания m_y ^* и оценку дисперсии D_y^* выходного параметра. Оценки математического ожидания и дисперсии будут стремиться к их истинному значению по мере увеличения числа опытов N. В пределе при N ®¥, m_y ^* ® m_y и D_y^* ® D_y^.. Необходимо подчеркнуть, что эти оценки m_y ^* и D_y^* сами являются случайными величинами и имеют свои математические ожидания и дисперсии. Для нас особо важно знать среднеквадратическое отклонение оценки математического ожиданияs _m* и дисперсии s _D* выходного параметра y от числа опытов. Именно они и характеризуют методическую погрешность метода Монте-Карло.

Не­об­хо­ди­мое ко­ли­че­ст­во опытов N при про­ве­де­нии ис­пы­та­ний ме­то­дом Мон­те-Кар­ло за­ви­сит от тре­буе­мой точ­но­сти ре­зуль­та­та. В ряде случаев для приведения гистограмм к описанию известными теоретическими законами (нормальному, равномерному, Симпсона и др.) гистограммы выравнивают. Выравнивание гистограмм начинают с выдвижения ги­по­те­зы о теоретическом за­ко­не рас­пре­де­ле­ния. Затем, по формулам, описывающим теоретический этот закон, с параметрами m_y ^*, D_y^*, полученными в эксперименте, строят гипотетическую плотность вероятности. Оценки гипотез о виде теоретического закона распределения проводят по кри­те­риям согласия Колмогорова или Пирсона, которые дают возможность количественно рассчитать вероятность неопровержения выдвинутых гипотез. На прак­ти­ке мож­но с дос­та­точ­ной уве­рен­но­стью полагать рас­пре­де­ле­ние вы­ход­но­го па­ра­мет­ра близ­ким к нор­маль­но­му закону, а для получения достоверных оцен­ок ко­ли­че­ст­вен­ных ха­рак­те­ри­стик рас­пре­де­ле­ния, чис­ло опытов N принимают в пределах от 100 до 1000.

Для сравнения результатов проведения испытаний одного и того же объекта методом Монте-Карло и методом матричных испытаний можно воспользоваться представлением объекта, содержащего два первичных (x­ _1, и x ₂) и один выходной параметр y

Рис. 10.11. Графическое представление результатов испытаний
методом Монте-Карло: а – двухмерное; б – трехмерное.