Факторная структура пяти показателей способностей

(метод главных осей, до вращения)

Переменные	Факторные нагрузки aik	Общность
	F1	F2
	0, 807	-0, 482	0, 88
	0, 774	-0, 481	0, 83
	0, 661	0, 416	0, 61
	0, 580	0, 470	0, 56
	0, 675	0, 317	0, 56
Собственное значение	2, 478	0, 959	3, 44
Доля дисперсии	0, 496	0, 192	0, 69

Факторную структуру графически можно представить в виде точек-признаков в пространстве М факторов. Положение каждой точки задается факторными нагрузками как координатами этой точки по соответствующим осям-факторам. Для нашего примера такое графическое изображение факторной структуры представлено на рис. 16.3.

Рис. 16.3. График пяти показателей интеллекта в осях двух факторов до вращения

Расстояние каждой точки от начала координат или длина вектора-переменной равны сумме квадратов всех координат этой точки (конца вектора-переменной). Поскольку координаты — это факторные нагрузки, то длина каждого вектора равна общности соответствующей переменной.

Без доказательства укажем, что коэффициент корреляции между каждой парой переменных равен косинусу угла между соответствующими векторами в пространстве общих факторов. Иначе говоря, чем выше корреляция, тем меньше угол между соответствующими переменными.

Указанные соотношения между переменными в осях факторов никак не изменятся, если мы повернем оси факторов на любой угол относительно переменных, при условии соблюдения взаимной ортогональности (перпендикулярности) факторов. Из этого следует вывод, что мы можем поворачивать факторы относительно переменных как угодно, соблюдая ортогональность факторов. При этом наиболее предпочтительно, чтобы каждая переменная в результате вращения оказалась вблизи оси фактора, иными словами, имела бы максимальную нагрузку по одному фактору и минимальные — по всем остальным. Только в этом случае каж­дая переменная будет соотнесена только с одним фактором, что и тре­буется для интерпретации факторной структуры.

Каждая переменная имеет большую нагрузку только по одному из факторов

В нашем примере (рис. 16.3) жела­телен поворот осей факторов по часовой стрелке так, чтобы фактор 1 прошел вблизи переменных 1 и 2, а фактор 2 — вблизи переменных 3 — 5. Решение, при котором каждая переменная имеет большую нагрузку только по одному факто­ру, а по остальным ее нагрузки близки к нулю, называется простой структурой.

На заре появления многофакторного анализа проблема вращения решалась графически. Чертились графики факторной структуры — по одному для каж­дой пары факторов. Затем делали графический поворот осей факторов относи­тельно переменных, после чего линейкой измеряли новые проекции перемен­ных на эти оси. Таким образом получали факторную структуру после вращения.

В настоящее время используются аналитические способы вращения, реализованные во всех компьютерных программах факторного анализа. Работа аналитических методов подобна геометрическому вращению «вручную». Каждая пара факторов поворачивается относительно переменных до тех пор, пока не достигается наиболее возможная простота структуры. В одних случаях кри­терием простоты является факторная сложность переменных (квартимакс), в других — индекс сложности каждого фактора (варимакс), где факторная слож­ность переменной пропорциональна числу общих факторов, связанных с ней, а индекс сложности фактора пропорционален числу переменных, с ним связанных. Наиболее широко применяется вращение, где на каждом шаге простота структуры определяется по критерию варимакс Г. Кайзера — варимакс-вращение.

Результат применения варимакс-вращения к факторной структуре из табл. 16.5 представлен в табл. 16.6; графический результат — на рис. 16.4.

Рис. 16.4. Факторная структура пяти показателей интеллекта после варимакс-вращения

После вращения каждая переменная имеет большую нагрузку только по одному фактору. Следовательно, каждый фактор может быть однозначно интерпретирован через входящие в него переменные: фактор 1 — по признакам 1 и 2, фактор 2 — по признакам 3 и 5. Так как переменная 1 — счет в уме, переменная 2 — числовые ряды, то фактор 1 может быть идентифицирован как «арифметические способности». Переменные, входящие в фактор 2 (осведомленность, словарный запас, сходство), позволяют интерпретировать его как фактор словесного понимания.

Таблица 16.6