Проблема общности

Это вторая главная проблема факторного анализа. Единичная дисперсия каждой переменной представлена в факторном анализе как сумма ее общно­сти и характерности:

где — общность переменной с номером i; — ее характерность.

Общность — это часть дисперсии переменной, обусловленная действием общих факторов. Характерность — часть ее дисперсии, обусловленная спецификой данной переменной и ошибками измерения. Иначе говоря, общность — это полный вклад всех факторов в единичную дисперсию переменной, а ха­рактерность — это разность полной единичной дисперсии переменной и ее общности. Общность переменной i равна сумме квадратов ее нагрузок по всем М факторам (по строке факторных нагрузок):

Полнота факторизации — важное понятие факторного анализа, вытекаю­щее из определения общности. Любой элемент факторной структуры — фак­торная нагрузка переменной, возведенная в квадрат, — приобретает смысл доли дисперсии переменной, обусловленной данным фактором. Суммируя эти доли по строке, мы получаем общность — долю дисперсии переменной, обусловленную влиянием всех общих факторов.

Суммарная дисперсия всех переменных есть сумма единичных дисперсий всех признаков, что равно просто количеству признаков. Суммируя доли дисперсии всех переменных по одному фактору, мы получаем суммарную дисперсию всех переменных, обусловленную действием этого фактора. Разделив суммарную дисперсию, обусловленную действием данного фактора, на ко­личество признаков, мы получим долю дисперсии, обусловленную данным фактором, или информативность (мощность) фактора. Сумма квадратов всех элементов факторной структуры — факторных нагрузок — равна сумме всех общностей и суммарной дисперсии всех переменных, обусловленной общи­ми факторами. Эта величина, деленная на количество признаков, известна как полнота факторизации:

где V_k — мощность фактора с номером k; — собственное число фактора с номером i; — общность переменной i; — вклад фактора i в переменную k; М — число факторов; Р — число переменных.

Понятно, что качество факторного анализа тем выше, чем выше полнота факторизации. И эта величина является одним из важных показателей при выборе пользователем варианта решения, наряду с показателем того, насколь­ко полно воспроизводятся коэффициенты корреляции. Надо отметить, что четких статистических критериев полноты факторизации не существует. Тем не менее, низкие ее значения, например меньше 0, 7, свидетельствуют о же­лательности сокращения количества признаков или увеличения количества факторов.

Вообще говоря, проблема общностей заключается в том, что они, как и число общих факторов, не известны до начала анализа, но должны каким-то обра­зом задаваться, так как величины факторных нагрузок зависят от величин общностей. Отметим, что в компонентном анализе этой проблемы не существует: общность каждой переменной равна 1, при условии выделения всех Р компонент. Различия в методах факторного анализа и определяются тем, как решается проблема общностей.