Итерационные методы

Для систем большой размерности вследствие ошибок округления прямые методы могут не дать требуемой точности вычислений поэтому при их решении часто применяют итерационные методы.

В итерационных методах решение сводится к нахождению последовательности решений {X}⁰, {X}¹, … {X}^k, сходящейся к точному решению {X}^*. Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия ║ {X}^k+1-{X}^k ║ < e.[1]

В качестве примера рассмотрим один из итерационных методов - метод Зейделя.

Представим систему уравнений в следующем виде:

Для всех итерационных методов основное - алгоритм получения значений вектора решения на следующей итерации {X}^k+1 по известному вектору {X}^k предыдущей итерации.

Из первого уравнения системы, положив значения неизвестных под знаком суммирования равными величинам неизвестных с предыдущей k-ой итерации

получим величину x₁ на текущей итерации

Подставив полученное значение x₁^k+1 во второе уравнение вместо x₁ и по прежнему считая величины неизвестных под знаком суммы равными их значениям на предыдущей итерации, получим уравнение с одним неизвестным для нахождения x₂^k+1.

Этот процесс может быть продолжен. Для i-го уравнения будем использовать величины неизвестных x_j^k+1, j=1…i-1 полученные на текущей итерации, а x_j^k, j=i+1…n - полученные на предыдущей итерации. Тогда в общем виде формула для определения неизвестных может быть написана в виде

Во всех итерационных методах важное значение имеет выбор начального приближения {X}⁰. Чем ближе начальное приближение к точному решению, тем быстрее сойдется процесс. Для больших СЛАУ в качестве начального приближения может быть выбран результат решения прямыми (точными) методами.