Общий случай построения конечно-разностной сетки.

Лекция 3

Задача построения конечно-разностной сетки геометрически представляет собой замену непрерывного пространства некоторой расчетной сеткой. В дальнейшем используются значения переменных в узлах сетки. Задача выбора сетки не имеет какого.-либо строгого решения. Чаще всего используют прямоугольные и полярные сетки, в зависимости от внешнего контура области и вида диф.уравнений в частных производных (ДУЧП). Следует придерживаться следующих правил:

· сетка должна целиком покрывать исследуемую область;

· расстояния между узлами должны быть достаточно маленьким, чтобы приблизить конечно-разностную аппроксимацию производных к их истинным значениям;

· форма ячеек должна соответствовать внешнему виду границ, т.е. если границы параллельны декартовым осям - то сетка должна быть прямоугольной, если границы наклонены к декартовым осям – то косоугольной, если в границы близки к окружности и ДУЧП записано в полярных координатах - сетку надо выбирать в виде концентрических окружностей, пересеченных радиусами.

Примеры построения прямоугольной и полярной конечно-разностной сетки для плоских областей приведен на рисунке. Применена сетка с постоянным шагом h_x, h_y и h_r, h_j вдоль каждой из осей. В общем случае сетка может быть и с переменным шагом, сгущаясь в области предполагаемых увеличенных градиентов изменения неизвестной функции v.

Такая дискретизация позволяет перейти от непрерывного изменения искомой функции v к ее дискретному выражению:

v(x, y) ® v(x_i, y_j)

v(r, j) ® v(r _i, j _j)

Для сокращения записи значение дискретной (сеточной) функции в точке i, j обычно используется обозначение v_{i, j,} , то есть v_{i, ĵ} = v(x_i, y_j)

Из рисунка видно, что наилучшим образом метод КР приспособлен для тех областей ТО, границы которых представляют собой линии, параллельные координатным осям, либо окружности.

Как задавать границы более сложной формы, изображенные, в частности на рисунке?. Задание границ - это ахиллесова пята МКР. Наиболее простой способ - замена сложной границы на более простую путем переноса границы Г таким образом, чтобы новая граница Г’ проходила через ближайшие узлы сетки.

Для нестационарных задач вводится понятие временного слоя и шага по времени h_t = t (см пример).

Алгебраизация заключается в замене частных производных в математической модели конечными разностями. Конечная разность - это алгебраическое выражение, аппроксимирующее значение производной сеточной функции в узле разностной сетки через значения самой сеточной функции в окрестных узлах. Конечно-разностное аппроксимация частных производных основана на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки i, j. В частности для оси x получим:

v(x_i+h_x, y_i)=v_{i+1, j}= v_{i, j} + h_x ´ ¶ v /¶ x|_x=xi + (h_x²/2)´ ¶² v /¶ x ² |_x=xi +… (2.1)

v(x_i-h_x, y_i)=v_{i-1, j}= v_{i, j} - h_x ´ ¶ v /¶ x|_x=xi + (h_x²/2)´ ¶² v /¶ x ² |_x=xi -… (2.2)

аналогичное выражение может быть получено и для разложения функции вдоль оси y.

Пренебрегая производной 2-го и высших порядков из выражения (2) может быть получено три выражения для аппроксимации первой производной:

¶ v /¶ x @1/ h_x ´ (v_{i+1, j} - v_{i, j}) - правая разность (из 2.1)

¶ v /¶ x @1/ h_x ´ (v_{i, j} - v_{i-1, j}) - левая разность (из 2.2)

¶ v /¶ x @1/2 h_x ´ (v_{i+1, j} - v_{i-1, j}) - центральная разность (из 2.1-2.2)

Складывая выражения (2.1) и (2.2) получим аппроксимацию второй производной

¶² v /¶ x ²@1/ h_x² ´ (v_{i+1, j} - 2 v_{i, j} + v_{i-1, j}) (3)

Аппроксимация производных по другим осям производится подстановкой других наименований осей.

Аппроксимация смешанной производной производится комбинированием двух центральных разностей по оси x и одной по оси y

(4)

· Замена частных производных в уравнении (1) в соответствии с (2)…(4) превращает его в систему алгебраических уравнений. В этой системе неизвестными будут значения фазовой переменной в тех узлах сетки, в которых не заданы краевые условия. В зависимости от выбора КР схемы система уравнений будет представлена либо рекуррентными соотношениями, либо системой линейных алгебраических уравнений.