Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. ® В Конец вектора А Вектором, или направленным отрезком, Начало вектора называется отрезок вместе с его направлением.
На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, а на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить . Нулевой вектор обозначается символом . Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора () обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: . Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
· М A BF
· D E C Векторы (вектор нулевой) коллинеарные, а векторы , а также не коллинеарны. Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными. Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными) если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала. Если векторы и сонаправлены, то пишут: , а если они противоположно направлены, пишут: ¯ . Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Ненулевые коллинеарные векторы обладают следующими свойствами:
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Пусть - два вектора. Отметим произвольную B точку А и отложим от этой точки вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . A C Вектор называется суммой векторов . Сумма векторов и обозначается так: Суммой векторов называется вектор , началом которого является начало вектора , конечной точкой будет конец вектора , отложенного от конца вектора . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Cправедливо равенство . Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случаае, когда две из них или все три совпадают. Рассмотрим свойства сложения векторов. Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства: 1. + = + (переместительное свойство) 2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательное свойство) Доказательство. 1. Рассмотрим случай, когда векторы не коллинеарны. B C От произвольной точки А отложим векторы параллелограмм ABCD. По правилу треугольника . Аналогично . Отсюда следует, что А D + = +
B C2. От произвольной точки А отложим вектор , от точки В – вектор , а от точки С – вектор . Применяя правило треугольника, получим: A D
( + ) + = + ( + ) = Þ ( + ) + = + ( + ). При доказательстве свойства 1 мы обосновали так называемое правилопараллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом много - угольника. Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А1, А2, …, Аn - произвольные точки плоскости, то . Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, Аn, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
+ + + + =
Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . Разность векторов и обозначается так: - . Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов. Задача. Даны векторы и . Построить вектор - . Решение. А Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки векторы и . - По правилу треугольника , или . Таким образом, сумма векторов и равна вектору О В По определению разности векторов это означает, что , т.е. вектор искомый. Введем понятие вектора, противоположного данному. В Пусть - произвольный ненулевой вектор. Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены . Вектор является противоположным вектору . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору , обозначается так: - . Очевидно, + (- ) = . Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство - = + (- ). Доказательство. По определению разности векторов ( - ) + = . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- ), получим: ( - ) + + (- ) = + (- ), или ( - ) + = + (- ), откуда - = + (- ). Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор . Затем от точки А отложим вектор По теореме о - разности векторов - = + (- ), поэтому - = т.е. вектор искомый. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при k ³ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение вектора на число k обозначается так: k .
3 - 2 Из определения произведения вектора на число следует, что: 1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; 2) для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.
Доказательство. Если k ¹ 0, l ¹ 0, ¹ , то оба вектора (k l) и k (l ) имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление. Это направление такое же, как и у , если k и l одного знака, и противоположно , если k и l разного знака. 2)
О k А l В Если сумма k + l > 0, то векторы (k + l) и k + l будут сонаправлены с вектором и иметь одинаковые длины: (k + l) = k + l . Если (k + l) < 0, то (-k – l) > 0 и, по доказанному, (-k - l) = - (k + l ). Откуда умножением на (-1) получаем (k + l) = k + l . А 3) А1
О + В1 В
D ОАВ ~ D ОА1В1 с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны, Таким образом, k( + ) = k + k . 3. Задача по теме «Подобие треугольников».
|