Кооперативные решения

№60. В некотором районе имеется три предприятия, каждое из которых нуждается в проводке теплоцентралей. Предприятия могут провести теплоцентрали отдельно друг от друга, а могут объединиться в группы – коалиции. Если предприятие i=1.2.3 прокладывает централь самостоятельно, то затраты составят 100, 200, 300 единиц соответственно. Если 1-е и 2- предприятие объединяться, то их общие затраты составят 250 единиц. Если 1-е и 3-е объединяться, то затраты составят 350 единиц. Если 2-е и 3-е объединятся, то затраты составят 460 единиц. Если все три предприятия объединяться, то затраты составят 580 единиц. Найти все решения, которые могут принять предприятия как рациональные субъекты.

Решени е.

Возможны следующие коалиции:

– первое предприятие; – второе предприятие; – третье предприятие;

– первое и второе; – первое и третье; – второе и третье;

– первое, второе и третье

Обозначим – суммарные затраты на проводку теплоцентралей коалицией K. получим, что – затраты на проведение теплоцентралей i -м предприятием , если оно действует в одиночку.

Рассмотрим условия, при которых первому и второму предприятию выгодно объединиться в коалицию . Общие затраты =250 будут поделены между первым и вторым предприятиями (необязательно поровну). Обозначим – затраты первого предприятия, – затраты второго предприятия. Очевидно, что

(3.1)

Каждое предприятие сопоставляет свои затраты с теми затратами, которые оно понесло, если бы не вступило в коалицию. Для обоих предприятий условием вступления каждого из них в коалицию будет выполнение следующих неравенств:

(3.2)

Необходимым условием для этого служит неравенство:

(3.3)

Неравенство выполняется, т.к. 250< 100+200.

Так же справедливы неравенства 350< 100+300, 460< 200+300, поэтому могут возникнуть все коалиции , и .

При каких условиях возможна коалиция, состоящая из всех трех предприятий?

Пусть – затраты каждого из предприятия в коалиции т.е.

(3.4)

Условием, при котором коалиции будет выгодно принять к себе 3-е предприятие, и при этом вхождение в коалицию будет выгодно 3-му предприятию, будет система неравенств

(3.5)

(3.6)

Из системы следует, что + 300≥ v( ). Это неравенство не выполняется, т.к. 250+300< 580. Аналогично можно сравнить коалицию с двумя другими попарными коалициями. Следовательно, коалиция менее выгодна участникам, чем любые попарные коалиции.

Ответ. Оптимальными решениями будут коалиции, объединяющие различные пары предприятий.