Задача 8.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не играет роли. Здесь важен только их состав. Как известие из предыдущего (см. задачу 6), число размещений из 10 по 4 равно . Пусть теперь выбраны 4 книги из 10. Число таких возможных выборов, где не учитывается порядок выбранных книг, равно . Однако каждому из этих сочетаний (выборов) будут соответствовать Р4=24 перестановки выбранных книг. Тогда выбор 4 книг из 10 с учетом их порядка по правилу умножения возможен способами. С другой стороны, число указанных способов - это число размещений . Таким образом, откуда имеем . Таким образом, число возможных способов выбора подарка равно 210.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по m равно то есть

. (4)

Чтобы получить размещение из п элементов по m, а их число равно , надо выбрать т элементов из множества, содержащего n элементов, что можно сделать способами, и организовать из них упорядоченное подмножество. Последнюю операцию можно выполнить способами. Таким образом, чтобы получить размещений, надо выполнить две операции, которые можно осуществить и Рт способами соответственно. Поэтому, согласно правилу умножения, можно записать . Разделив последнее равенство почленно на Рт, что возможно, так как , получим

.

Следствие. Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m, т. е.

. (5)

В выражении для поменяем местами сомножители m! и ; в результате имеем

.