Дифференциал.

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке, то производная принимает определенные значения. Отношение Dу/Dх при Dх ® 0 можно представить в виде где a ® 0 при Dх ® 0. Умножая равенство на Dх получим Dу = f `(x) Dx + aDx. В общем случае f `(x) ¹ 0 и произведение f `(x) Dх есть величина бесконечно малая одного порядка с Dх, а aDх – бесконечно малая высшего порядка. Первое из двух слагаемых (f`(x) Dх) называют главной частью приращения функции, линейной относительно Dх, или дифференциалом функции и обозначают dy = f `(x) Dх.

Пусть у = х. Очевидно, что dy = dx и дифференциал независимого переменного совпадает с приращением и можно записать dy = f `(x)dx (4.24).

Производную функции f `(x) = dy / dx можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

То, что в выражении Dу = dy + aDx второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, позволяет в приближенных вычислениях использовать следующий алгоритм:

Dу» f `(х)Dх => f (х+Dх) – f (х) @ f `(x) Dх => f (x + Dх) @ f(x) + f `(x) Dх (4.25.),

причем вычисления тем точнее, чем меньше величина Dх.

Пример: Вычислим приближенное значение sin46⁰; 46⁰ = 45⁰ + 1⁰ = p/4 + p/180; Из (4.25) очевидно, что sin(x + Dх)» sin x + Dх cosx и sin 46⁰ = sin (p/4 + p/180) @ sin p/4 + (p/180)cos p/4» 0, 7194.

Из (4.24) следует, что большинство теорем и формул, относящихся к производной, справедливы и для дифференциалов. Так

d(u + v) = du + dv (4.26), d(uv) = vdu + udv (4.27) и т.д.

Аналогично тому, как определяются производные высших порядков, определяются и их дифференциалы. Дифференциал от дифференциала называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) и обозначают d(dy) = dy². По определению дифференциала d²y = [f `(x) dx]`dx = f ``(x)(dx)², так как dx от х не зависит. Очевидно, таким же образом определяется дифференциал любого порядка dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ; принято записывая порядок дифференциала опускать скобки, т.е окончательно общее выражение примет вид

dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (4.24').

Контрольные вопросы.

1) Что называют дифференциалом функции?

2) Где применяется или ?

3) Как находятся дифференциалы высших порядков?

4.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Приведем (без доказательств) несколько теорем, утверждения которых играют большую роль в аппарате дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля о корнях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и f(a) = f(b), то в интервале (а, b) найдется хотя бы одно значение х = x, при котором f `( x) = 0. Если f(a) = f(b) = 0 (частный случай), то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной. Геометрическое истолкование: если непрерывная на отрезке [a, b] кривая имеет в каждой точке касательную, не параллельную оси Оу, и равные ординаты в точках а и b, то найдется по крайней мере одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (tg a = f `(x) = 0).

2. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x, при котором выполяется равенство f(b) – f(a) = (b – a) f `( x).

Геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой у = f(x) имеющей в каждой точке касательную не параллельную оси Оу найдется хотя бы одна точка x (a < x < b) такая, в которой касательная параллельна хорде АВ.

3. Теорема Коши (об отношении приращений двух функций): Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), причем j`(x) ¹ 0, то в этом интервале найдется хотя бы одно значение х = x (a < x < b) такое, что . Теорема Коши позволяет доказать два важных для решения задач теории пределов утверждения, известных под названием правила Лопиталя.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и j(x) на некотором отрезке [a, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль точке а т.е.

f(a) = j(a) = 0; тогда, если существует , то существует и ,

причем . Это правило позволяет во многих случаях раскрыть неопределенности вида 0/0 (такие, например, как первый замечательный предел), причем: а) теорема справедлива и в случае, когда f(x) и j(x) неопределены при х = а, но и ; б) если f `(a) = j`(a) = 0, а функции f `(x) и j`(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши, то, применяя правило Лопиталя дважды, получим ; в) процедура (при выполнении соответствующих условий) может быть повторяема до получения результата.

Правило справедливо и в случае и .

Теорема 2. Пусть функции f(x) и j(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши при всех х ¹ а в окресности точки а, и , и пусть существует предел . Тогда существует и предел , причем

(4.28).

Это правило позволяет раскрывать неопределенности вида . Оно справедливо и в случаях: а) А = ¥; б) х ® ¥.

Во многих случаях это правило позволяет раскрыть неопределенности и других видов, применив предварительно те или иные преобразования. Так, неопределенности вида 0 × ¥ или ¥ – ¥ приводят к виду или путем алгебраических преобразований данной функции; в случае неопределенности вида 0⁰, ¥ ⁰, или 1^¥ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры:

1. Неопределенность вида (∞ -∞): (неопределенность вида , применяем правило Лопиталя). = (; правило Лопиталя) =

2. Неопределенность вида 0⁰: . Обозначим . Прологарифмируем обе части равенства (неопределенность вида ∞ ·0) = (; правило Лопиталя) = (; правило Лопиталя) = ; ; ℮ ⁰=1 т.е. ;

Формула Тейлора. Нередко вычисление значений функции y = f(x) при конкретных значениях х оказывается затруднительным. Один из эффективных приемов в этом случае – замена функции степенным многочленом (полиномом) вида: P_n(x – a) = C₀ + C₁(x – a) + C₂(x – a)² + … + C_n(x – a)ⁿ (1) значение которого при х = а равно значению функции f(а). Если функция y = f(x) дифференцируема (n + 1) раз в некоторой окрестности точки а, то коэффициенты С_i можно определить так: потребуем, чтобы в точке а выполнялись условия , т.е. чтобы в точке а были равны значения соответствующих производных. Получим:

f(а)= C₀; f `(a) = C₁; f ``(a) = 2C₂ = C₂ × 2! ……; f⁽ⁿ⁾(a) = C_n × n!

где n! = n(n –2)(n –3) … (n – k) … 3 × 2 × 1 (символ n! называется n – факториал). Отсюда легко находятся все (4.29).

Подставив в (1) получим: (4.30)

Очевидно, что совпадая при х = а, в других точках значения f(х) и Р_n(x) отличаются. Обозначив это отличие через R_n(x) = f(x) – P_n(x) получим:

(4.31)

Величину R_n(x) называют остаточным членом. Для значений х, при которых остаточный член мал, многочлен Р_n(x) дает приближенное значение f(x). Оценить величину R_n(x) при различных х позволяет выражение

, где a < x < x (4.32).

(Форма Лагранжа для остаточного члена). Величину x можно представить в виде: x = а + q(х – а), где 0 < q < 1 и тогда (4.32) примет вид

(4.32`)

(Очевидно, что, если х расположено в достаточно малой окрестности а. величина R_n при достаточно большом n может быть достаточно мала, чтобы обеспечить требуемую точность).

Выражение (3.31), называется формулой Тейлора. Частный случай ее при а = 0 (4.31`), где , 0 < q < 1 называется формулой Маклорена. Используя правила дифференцирования, несложно получить разложения многих функций по формуле Маклорена. Приведем некоторые из них:

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Формула Тейлора может быть применена и для раскрытия неопределенностей вида и . Функции в числителе и знаменателе дроби «раскладываются» по формуле Тейлора и, после некоторых преобразований, предел вычисляется.

Контрольные вопросы.

1) Какую роль играют в аппарате дифференциального исчисления теоремы Роля, Лагранта, Коши?

2) Можно ли применять правило Лопиталя при неопределённости вида 0; ?

3) Можно ли с помощью формулы Тейлора приближённо представить (аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде многочлена?

4) Как выглядит формула Маклорена?

5) Можно ли с помощью формулы Тейлора для раскрытия неопределённостей вида и ?