Функция.

Напомним несколько необходимых понятий. Переменной называют величину, которая принимает различные значения. Постоянной – величину, значение которой остается неизменным. Постоянную величину можно рассматривать, как частный случай переменной. Областью изменения переменной величины называют совокупность всех ее значений. Интервалом называют совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами а и b (a < b) причем сами а и b не принадлежат рассматриваемой совокупности хÎ (а, b) (открытый интервал). Частный случай – хÎ (–¥, ¥). Отрезок (закрытый интервал) – совокупность всех х заключенных между а и b включая границы хÎ [a, b]. Если одна из границ (например а) входит, а другая не входит в рассматриваемую область хÎ [a, b) – полузакрытый интервал. Окрестностью точки х₀ называют произвольный интервал, содержащий х₀ внутри себя (а < x₀ < b). Если , ее называют центром, а – радиусом окрестности. (e окрестность).

Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, по определенному правилу ставится в соответствие значение другой переменной у, то говорят, что у есть функция от х (символическая запись: y = f(x) или y = y(x) и т.п.); х называют независимой переменной (аргументом). Совокупность значений х называют областью определения (существования), а совокупность значений у – областью изменения функции.

Рассмотрим основные способы задания функции.

1. Табличный способ (часто используется в экспериментальных исследованиях) заключается в составлении таблицы, в которой в соседних клетках одного столбца (строки) расположены соответствующие значения аргумента и функции, например:

2. Графический способ. Значения х и у рассматриваются как координаты точек. Совокупность точек плоскости хОу, абсциссы которых суть значения аргумента, а ординаты – значения функции, называют графиком функции. Если известен график, функция задана графически.

3. Аналитический способ. Аналитическим выражением называется символическое обозначение математических операций, производимых в определенной последовательности над постоянными и переменными величинами (например ; l g sinx² и т.д.).

Если у = f(x) и f(x) обозначает аналитическое выражение, говорят, что функция задана аналитически (например ).

Элементарной функция называется, если ее можно задать одной формулой вида у = f(x), где выражение, стоящее справа, составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. (Функцию от функции называют сложной функцией).

Напомним, что основными элементарными функциями (их свойства и графики полагаем известными из курса средней школы) являются:

1) Степенная функция: у = х^a, где a Î R, х > 0

2) Показательная функция: у = а^х, где a > 0, a ¹ 1

3) Логарифмическая функция: у = log_ax, где а > 0, a ¹ 1

4) Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, у = cosec x

5) Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, у = arccosec x

Контрольные вопросы.

1) Что называется функцией?

2) Что называется областью определения функции?

3) Перечислите основные элементарные функции.