Координаты.

Возьмем произвольную прямую, выберем единицу масштаба и положительное направление. Зафиксируем на прямой (принято называть такую прямую осью) произвольную точку О. Расстояние от нее до другой точки определится числом единиц длины в соответствующем отрезке.

Знак числа показывает, в каком направлении от точки О нужно откладывать отрезок, чтобы попасть в соответствующую точку (точки А₁ (5) и А₂ (–4) на рис. 1.1, например). Число, стоящее в скобках, и есть координата. Этот пример иллюстрирует понятие одномерного пространства R и одномерной системы координат.

рис.1.1.

А как быть в двумерном случае (в пространстве R²)? Зададим единицу масштаба и две взаимноперпендикулярные оси. Точка их пересечения О называется началом, а оси – осями координат. Горизонтальную ось (ось абсцисс) обозначим Ох, а вертикальную (ось ординат) Оу. Буквы x и y ставят у обрыва осей в положительном направлении (рис. 1.2). Так вводится на плоскости система координат, называемая декартовой прямоугольной.

Проекции точки M_n на оси Ох и Оу (точки x_n и y_n соответственно, рис. 1.2)

позволяют определить координаты точки M_n как числа, выражающие длины отрезков Oх_n и Oу_n (x_n – абсцисса, y_n – ордината точки M_n). Символически положение точки M_n с известными координатами x_n и y_n записывается в виде M_n(x_n, y_n), произвольной точки – М(x, y), где x и y – текущие координаты.

Рассмотрим еще одну систему координат на плоскости – полярную. Она определяется заданием точки О (полюса), полярной оси, проходящей через нее, и направлением отсчета угла j между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс О с произвольной точкой М плоскости.

Полярными координатами точки М называют пару чисел r и j, где r – длина отрезка ОМ, а j – упомянутый угол в радианах.(Принятое направление отсчёта - против часовой стрелки от положительного направления оси.) Вернемся к рис. 1.2. Примем за полярную ось Oх. Для установления связи между декартовыми и полярными координатами точки M_n достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник OM_nх_n. Легко видеть, что

(1.1) Þ (1.2)

Для произвольной точки М значения x_n и y_n заменяются текущими x и y. Соотношения (1.1) позволяют перейти от полярных координат к декартовым, а соотношения (1.2) – от декартовых к полярным.

Аналогично тому, как это делалось для плоскости, вводятся декартовы координаты в трехмерном пространстве R³. Задается единица масштаба и три взаимно перпендикулярные оси Oх, Oу и Oz, пересекающиеся в точке О. Положение точки однозначно определяется тремя числами – абсциссой x, ординатой y и аппликатой z (рис. 1.3) (к осям (координатам) x и y «добавили» ось (координату) z).

Контрольные вопросы.

1) Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2) Чем отличаются друг от друга декартовы координаты двух точек, симметричных относительно а) оси ОХ, б) оси ОУ, в) начала координат?

3) Напишите формулы преобразования координат а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

4) Какой вид примет формула, по которой определяется расстояние между двумя точками, если: а) точки имеют одинаковые ординаты, но различные абсциссы; б) точки имеют одинаковые абсциссы, но различные ординаты; в) одна из точек совпадает с началом координат?

5) Как определяется декартова прямоугольная система координат в пространстве? Как определяются координаты точки в пространстве?