Матрицы. Основные свойства и операции.

Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из каких – либо математических объектов (элементов), в простейшем случае – из чисел. Принятое обозначение:

В общем случае числа строк m и столбцов n произвольны и определяют размер матрицы, обозначаемый (m n). Если строка одна, А = (а₁₁, а₁₂, …, а_1n) – матрица - строка; аналогично определяется матрица–столбец (размеры – (1 n) и (m 1) соответственно).

Если число строк равно числу столбцов – квадратная матрица порядка n. Квадратной матрице А соответствует определитель, обозначаемый D_А (или D_А). Если D_А ¹ 0, матрица А называется невырожденной (неособой), если D_А = 0, то А – вырожденная (особая) матрица.

Если в квадратной матрице А поменять местами столбцы и строки, то получим новую матрицу, обозначаемую А* и называемую траспонированной (сама операция замены называется траспонированием). Квадратная матрица, у которой все элементы (кроме, может быть, стоящих по главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол) равны нулю, называется диагональной. Такая матрица, если все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Квадратную матрицу, в которой а_ij = a_ji называют симметрической (такая матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А*).

Две матрицы А и В считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. а_mn = b_mn.

Матрицы одинакового размера можно складывать, получая новую матрицу того же размера по формуле:

(1.11)

Произведением числа a на матрицу А называют матрицу определяемую

равенством: (1.12)

Умножение матриц возможно в том случае, если число столбцов умножаемой матрицы равно числу строк матрицы множителя. Размер матрицы-произведения определяется соотношением (m n) (n k)=(m k). Произведение матриц А и В, обозначаемое АВ находят по правилу:

(1.13)

т.е. элемент матрицы – произведения, стоящий в i – й строке и к – ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i – й строки матрицы А и к – ого столбца матрицы В. Пример:

Отметим, что переместительный закон для произведения матриц в общем случае не выполняется: АВ ¹ ВА.

Аналогично понятию обратного числа (произведение числа на число обратное равно единице: а × а^–1 = 1) вводится понятие обратной матрицы А^–1.

А × А^–1 = Е, где Е – единичная матрица.

Обратную матрицу имеет всякая невырожденная квадратная матрица, причем:

где А_mn – алгебраическое дополнение элемента матрицы а_mn (см. (1.4.))

Альтернативный способ вычисления А^-1 приведён в разделе (1.4.3)

Контрольные вопросы.

1) Что называется матрицей? Приведите примеры.