Вывод основной формулы упругого режима

При разработке крупных месторождении или месторождений с обширными областями питания, находящихся под высоким на­чальным пластовым давлением, происходят длительные процессы перераспределения давления. Эти процессы обусловлены упругими свойствами пласта и жидкости, насыщающей его. Понижение да­вления в зоне разработки вызывает соответствующее расширение жидкости и сокращение объема пор. Вследствие сужения норовых каналов, а также расширения самой жидкости происходит выте­снение последней к скважинам. Хотя пористость и объем жидкости изменяются в небольших пределах, тем не менее в пластах, объемы которых значительны, влияние упругих свойств становится суще­ственным. Иногда упругий запас, т. е. количество жидкости, которое можно получить за счет упругости породы и насыщающей ее жидкости, оказывается достаточным, чтобы полностью разра­ботать нефтяную залежь. Как увидим ниже, это зависит главным образом от соотношения размеров области питания и запасов нефти, физических свойств коллектора и жидкости, насыщающей его, пластового давления и характера его изменения.

Идея, указывающая на существование упругого режима, впервые была высказана в двадцатых годах нашего столетия II. Н. Стрижовым. Гидродинамическая теория этого режима появи­лась значительно позже. Впервые теория упругого режима была разработана в 1937 г. М. Маскетом, Р. Шилсюизом и У. Херстом. Однако, как после оказалось, она имела существенные недостатки и, в частности, в ней не учитывалось изменение объемной упру­гости пласта.

Наиболее полно основы теории упругого режима пластов в Советском Союзе разработаны В. И. Щелкачевым. Им впервые получено основное дифференциальное уравнение движения сжи­маемой жидкости в упругой пористой среде.

Теория упругого режима основывается на предположении, что жидкость и среда — упругие тела, подчиняющиеся при дефор­мации закону Гука, т. е.

где _ж — плотность жидкости в кг/м³; р — давление в Па; _ж — коэффициент объемной упругости или коэффициент сжимаемости жидкости — величина, обратная модулю упругости жидкости, в Па^-1; _с — коэффициент объемной упругости породы — величи­на, обратная модулю упругости порового пространства, в Па^-1; т_э — пористость коллектора (при текущем давлении р).

Исходя из этого и других соображений, было получено исход­ное дифференциальное уравнение, необходимое для определения плотности _ж или давления р при фильтрации сжимаемой жидко­сти в упругой среде:

или приближенно

где — оператор Лапласа;

— коэффициент пьезопроводности в м²/с; t — время, отсчиты­ваемое с начала работы пласта, в с.

Уравнения (XII.1) и (XII.2) не учитывают влияние инерцион­ных сил и изменение температуры в пласте. Позже были полу­чены дифференциальные уравнения с учетом влияния сил инерции

и с учетом изменения температуры пласта (неизотермическая фильтрация)

Здесь [18] — коэффициент упругоемкости пласта в Па^-1; = — оператор Гамильтона; ^* = ( _с и _ж — коэффициенты объемного температурного расширения скелета и жидкости, т₀ — начальная пористость при начальном давлении р₀); Т — температура жидкости в К.

Если граничные условия не изменяются во времени, то правые части уравнений (XII.2)—(XII.4) будут равны нулю, и тогда

получим уравнение установившегося движения несжимаемой жидкости в пористой среде, т. е. уравнение Лапласа

Коэффициент пьезопроводности, входящий в уравнения (ХII.2—(ХII.4),

где k — коэффициент проницаемости среды в м²; _ж — коэффи­циент динамической вязкости жидкости в Па*с.

Как видно из (ХII.7), пьезопроводность зависит от пористости т_Э, проницаемости k и коэффициентов объемной упругости жид­кости _ж и пористой среды _с. Все эти параметры в условиях упруго-водонапорного режима не остаются постоянными. Пори­стость пласта т_Э зависит от изменения пластового давления и мо­жет быть представлена в виде[19]

Проницаемость пласта также зависит от изменения давления:

где a_k — коэффициент изменения проницаемости; k₀ — коэффи­циент проницаемости при начальном давлении р₀.

При понижении пластового давления проницаемость убывает, с повышением — увеличивается. Очевидно, наибольшая дефор­мация породы, а следовательно, и изменение проницаемости наблюдается в призабойной зоне.

Пренебрегая влиянием инерционных сил в (XII.4) и считая коэффициент пьезопроводности и постоянным, получим дифференциальное уравнение теплопроводности (XII.3) (уравнение Фурье), точное решение которого при определенных начальных и граничных условиях было дано Ван Эвердингеном и У. Херстом. Оно представлено в интегральной форме

где

J₁(u) и Y₁(и) — функции Бесселя первого порядка первого и вто­рого рядов соответственно.

В табл. XII.1 показаны значения интеграла р ( _с) в зависимо­сти от _с, изменяющейся в пределах 0, 01-1000. При значениях выше указанного диапазона действительно решение для точечного стока и поэтому можно считать при _с > 100

На рис. XII.1 сравниваются данные распределения давления, определенного по формулам (XII.10) и (XII.11).

Пользуясь принципом суперпозиции, М. Маскет [6], по ана­логии с решением X. С. Карслоу, показал, что для стока с по­стоянной интенсивностью G (t) существует зависимость:

где _ж — плотность жидкости в определяемой точке пласта в кг/м³; — начальная плотность жидкости в пласте в кг/м³; r_с — радиус скважины в м; R — расстояние от источника до точки, в которой определяется плотность жидкости, в м; h — мощность пласта в м; G () — масса жидкости, получаемой из скважины, в кг/с; — время с начала изменения давления в точке, в которой определяется плотность жидкости, в с; t — время с момента пуска скважины в с; — время распространения волны давления от скважины до точки, в которой определяется плотность, в с; — функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мни­мого аргумента

Формулу М. Маскета, справед­ливую при r _с = 0 (точечный ис­точник) и G (t) = const, И. А. Чар­ный преобразовал к удобному для расчетов виду, причем так, что r_с 0 и G (t) const.

Обозначим

откуда

Далее получим

Разложим последнюю функцию в ряд Тейлора

и подставим значение G (т) в (XII.12). Тогда получим

где

Теперь подставим значения G (t, и) в уравнение (XII.13), предварительно заменив через :

Рассмотрим интегралы, входящие в каждое слагаемое послед­него равенства.

Так как

то первый интеграл уравнения (XII.15).

где - символ интегральной показательной функции- табулированной; С₀ ()-i -величина, зависящая от и .

При небольших значениях и величина С₀ ()— i₀ очень мала и ею можно пренебречь, тогда

Далее, интегралы

стремятся к пределу 1/v.

С учетом того, что изменение давления в пласте или скважине при постоянной пористости т_э определяется зависимостью

а пьезопроводность и G (t)/ = q(t), после подста­новки их в (XII.15) получим

На стенке скважины R = r _с. Откуда, как видно из (XII.14), = 1. В этом случае для небольших значений (< 0, 05), что соответствует большому t, приближенно можно считать

где _Э - константа Эйлера, равная 1, 781072;

Здесь знак!! — обобщенный факториал (2п — 1)! = 1, 3, 5..., (2 - 1); (2п)!! = 2, 4, 6, 8..., (2 n).

При = 1 значение i₀ ничтожно мало. Пренебрегая им, получим

И тогда

Учитывая, что при постоянном отборе q(t) = q₀, из (XII.17) получим основную формулу упругого режима

или из (XII.18)

При R=r_c будем иметь:

где -параметр Фурье.

Погрешность основной формулы (XII.21), выраженная в процентах по отношению к , получаемая при соответствующих вычислениях для различных моментов времени t:

Таким образом, если известны дебит скважины q₀, ее радиус r_с, гидропроводность и пьезопроводность пласта , то изменение давления в нем можно определить по формулам (XII.19) —(XII.21). Причем под скважиной в этом случае можно подразумевать лю­бую окружность (например, контур нефтеносности), для которой известен дебит жидкости. Согласно формуле (XII.14), для неболь­ших значений t это может соответствовать сравнительно большим значениям .

Заметим, что для реальных скважин радиусом 0, 10—0, 15 м в непосредственной близости к ней значение через несколько секунд станет очень малым. Для укрупненных скважин этого мо­жет и не быть и тогда при определении понижения давления могут быть допущены погрешности. В таком случае более точные резуль­таты получают по формуле В. Н. Щелкачева для определения по­нижения давления на стенке укрупненной скважины, которая эксплуатируется в бесконечном пласте с постоянным дебитом q₀. Рассматривая месторождение как укрупненную скважину с суммарным дебитом и радиусом r_с, равным радиусу контура нефтеносности, будем иметь:

где Y (f_o') и ₀ — функции, зависящие от параметра f_o'; (f_o' = — параметр Фурье); п_Э — число эксплуатационных сква­жин.

По формуле (XII.22) получим результаты с меньшей погреш­ностью, чем по формуле (XII.19). Погрешность зависит от пара­метра Фурье. Так, при подсчетах понижения давления р на стен­ке укрупненной скважины по формуле (XII.22) она не превышает 1, 9%, если f_o' > 10, и 7%, если f_o' 0, 3, в то время как при определении по формуле (XII.19) погрешность достигает 5% при ; 9, 4% при f_o' 5 и около 35% при f_o' = 1.

Темп изменения давления на забое возмущающей скважины при постоянном отборе жидкости из пласта неравномерный. В началь­ной стадии разработки происходит более быстрое понижение да­вления, а затем оно замедляется. Окончание процесса изменения давления может быть различным. Если в пласте имеется естествен­ная область питания, способная компенсировать отбор жидкости из пласта, то к моменту, когда депрессионная воронка достигнет контура питания, давление в пласте стабилизируется. Если же

пласт ограничен или отбор из пласта превышает возможность пополнения пластовой энергии, то понижение давления будет продолжаться и может стать ниже давления насыщения.

На рис. XII.2 показана зависимость изменения давления во времени в пласте с упругим режимом при установленной крити­ческой депрессии, превышать которую нежелательно. В скважинах эта депрессия может быть связана с предельным давлением фон­танирования, а в пласте — с давлением насыщения. При увели­чении депрессии по сравнению с критической может прекратиться фонтанирование или начаться выделение газа в пласте.

Можно уменьшить или даже предотвратить понижение давле­ния ниже критического путем уменьшения отбора жидкости из пласта (при этом понижение давления будет меньше, а сроки разработки возрастут) или путем поддержания давления, закачи­вая рабочий агент в пласт. Тогда линии ОА на рис. XII.2 будет соответствовать понижение давления за счет упругих сил, линии АС — при стабильной депрессии в процессе разработки пласта с поддержанием давления. Нежелательно с точки зрения техноло­гии, чтобы понижение давления происходило по линии АВ. Оче­видно, закачка рабочего агента должна компенсировать избыток понижения давления, указанный заштрихованной площадью АВС. Построение в масштабе теоретического графика изменения давле­ния во времени позволяет определить момент начала повышения давления (точка А) и необходимый прирост давления в различные моменты времени (ординаты между прямой АС и кривой АВ).

При эксплуатации группы скважин (рис. XII.3) с помощью ме­тода суперпозиции можно получить расчетную формулу для определения давления в любой точке пласта М

где р_м — депрессия в точке М к моменту времени t; q — дебит скважины, находящейся на расстоянии от точки М, в м³/с;

— расстояние от точки М до скважины в м; t — время, про­шедшее с начала разработки, в с; — время, прошедшее с на­чала разработки к моменту пуска скважины с дебитом q в с; остальные обозначения известны.

Если в точке М расположена скважина, эксплуатирующая с дебитом q₀, то к формуле (XII.23) следует добавить еще одно слагаемое р_заб, характеризующее изменение давления, вызван­ное работой этой скважины

Если среди скважин месторождения есть нагнетательные, то в формуле (XII.23) перед дебитом этих скважин следует поста­вить знак минус, так как они вызывают уменьшение депрессии (то же самое, если в точке М расположена нагнетательная сква­жина).

В процессе разработки залежи дебиты скважин могут изме­няться. В этом случае формулы (XII.23) и (XII.24) остаются в си­ле, по увеличение дебита происходит вследствие как бы подклю­чения новой эксплуатационной скважины с дебитом, равным разности нового и предыдущего, а уменьшение его — вследствие подключения новой нагнетательной скважины. Допустим, напри­мер, (рис. XII.4): — начало работы скважины с дебитом q₁;

— начало работы скважины с дебитом ; — начало работы скважины с дебитом ; — остановка скважины.

Тогда, очевидно, депрессия в точке М к моменту времени t с начала разработки

Любое изменение дебита, происходящее после пуска или остановки скважины, можно учесть по принципу суперпозиции.

При большом числе скважин, эксплуатирующихся с перемен­ным дебитом, гидродинамические расчеты становятся громоздкими. Объединение скважин в группы в зависимости от положения их на структуре, применение линейки Д. Г. Когана или номограмм М. В. Назаретова значительно облегчает подсчеты.

При линейном расположении скважин (рис. XII.5) изменение давления в точке М, вызванное эксплуатацией скважин этого ряда, можно определить по формуле Н. С. Пискунова:

где —удельный дебит, приходящийся на единицу длины ряда, в м³/с; ; Q — суммарный дебит ряда скважин в м³/с; 2 — расстояние между скважинами в м; d — длина пер­пендикуляра, опущенного из точки М, в м; а - длина отрезка от конца перпендикуляра до начала ряда (точка А) в м; — длина отрезка от конца перпендикуляра до конца ряда (точка В) в м. Интеграл, стоящий в формуле (XII.26), в конечном виде не берется. Его можно вычислить приближенно по параболической формуле Симпсона[§§§§§]

При расчетах по формуле (XII.27) удобно пользоваться табл. XII.2