Теоретичні відомості. Сигнал , що задовольняє умові

Сигнал , що задовольняє умові

(1.1)

називається періодичним, а інтервал часу Т – періодом сигналу. Приклад періодичного сигналу у вигляді послідовності прямокутних імпульсів тривалістю τ і висотою h приведений на рис. 1.

Важливою характеристикою сигналу є його енергія. Для періодичного сигналу енергія визначається по співвідношенню:

. (1.2)

Періодичний сигнал, який має кінцеве значення енергії, може бути розкладений у ряд Фур’є. Формули розкладання сигналу в ряд Фур’є для тригонометричного базису мають наступний вигляд:

, (1.3)

, (1.4)

де - кутова частота періодичної послідовності імпульсів.

Коефіцієнти рядів обчислюються за співвідношеннями:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

де , . (1.8)

Данні формули приведені для функції u(t) загального виду.

В випадку коли функція u(t) парна, тобто u(t) = u(-t), то

a _n = c _n.

Якщо функція u(t) непарна, тобто u(t) = - u(-t), то

а ₀ = 0, a _n = s _n.

Коефіцієнти ряду (1.4) називаються гармоніками спектру сигналу. Коефіцієнт - це амплітуда, а коефіцієнт - фаза n-й гармоніки спектру. Набір гармонік утворює спектр сигналу. Розрізняють амплітудно-частотний спектр, представлений діаграмою, складеною з амплітуд гармонік набору, а також фазочастотний спектр у вигляді діаграми, складеної з фаз гармонік.

Аналіз спектру сигналу виконується за співвідношеннями (1.5) – (1.8). Синтез сигналу за його спектром здійснюється за співвідношеннями (1.3), (1.4). При синтезі ряди Фур’є складаються з кінцевого числа членів. Число членів N ряду визначається по ефективній ширині спектру сигналу. Ефективна ширина спектру – це інтервал частот, у якому зосереджене 90% енергії сигналу. По відомому спектру сигналу його потужність можна обчислити по співвідношенню Парсеваля:

, (1.9)

де Р- потужність сигналу,

- потужність постійної складової спектру,

- потужність n-й гармоніки спектру.

Спектр, складений з потужностей P₀, P_n називається енергетичним спектром сигналу.

На підставі співвідношення (1.9) число членів ряду N, що визначає ефективну ширину спектру

, (1.10)

обчислюється з умови:

. (1.11)