Интегральный признак сходимости Коши

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами , существует функция , удовлетворяющая трем условиям:

1) при некотором натуральном функция непрерывна на ;

2) монотонно убывает на ;

3) члены ряда являются значениями этой функции при це-

лых значениях аргумента: .

Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство. Для удобства обозначений проведем доказательство при Пусть — частичная сумма ряда, —натуральное число. Поскольку функция убывает, то при всех выполняется неравенство:

.

Проинтегрируем его по отрезку длиной :

.

Суммируя почленно неравенства при и применяя свойство аддитивности определенного интеграла, получаем:

.

Итак,

. (*)

Если несобственный интеграл сходится и равен : ,

так что при всех выполняется неравенство

,

то по левому неравенству в (*) возрастающая последовательность ограничена сверху:

;

следовательно, она имеет конечный предел, и ряд сходится.

Если же несобственный интеграл расходится:

,

то последовательность неограниченно возрастает. Тогда в силу правого неравенства в (*) имеем: ; ряд расходится. ■

Примеры. 1. Гармоническим рядом называется ряд

.

Убедимся, что гармонический ряд расходится. С учетом вида общего члена ряда положим и применим интегральный признак Коши. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

.

Несобственный интеграл расходится, следовательно, гармонический ряд расходится.

2. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд . Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда при . (При ряд заведомо расходится, поскольку общий член ряда в этом случае не стремится к нулю).

При получается обычный гармонический ряд, который расходится. Пусть теперь . Снова применим интегральный признак Коши с функцией и исследуем сходимость несобственного интеграла:

.

Рассмотрим два случая:

1. Если , то показатель степени , и . Несобственный интеграл расходится, следовательно, ряд также расходится.

2. Если , то показатель степени , и . Несобственный интеграл сходится, следовательно ряд также сходится.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что признак Даламбера в случае обобщенного гармонического ряда приводит к :

.