Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Частичные суммы образуют числовую последовательность; эта последовательность может иметь конечный или бесконечный предел, либо не иметь предела.
Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм: , то говорят, что ряд (1) сходится, а число — его сумма. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что ряд расходится. Примеры. 1. Разделим отрезок , имеющий длину 1, пополам и в качестве возьмем длину левой части: . Далее, оставшуюся правую часть разделим пополам и в качестве возьмем длину левой ее половины: и т.д. Продолжая процесс до бесконечности, получаем для длины отрезка представление в виде суммы бесконечного числа слагаемых, которые являются членами геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем : (рис. 1). Здесь частичные суммы: стремятся к длине исходного отрезка, то есть к : . Ряд сходится, и его сумма равна . 2. Рассмотрим ряд у которого, очевидно, . Предел частичных сумм бесконечен; ряд расходится. 3. Рассмотрим ряд . Здесь последовательность частичных сумм не имеет предела; ряд расходится. Наряду с рядами вида , в которых нумерация слагаемых начинается с единицы, рассматривают также ряды, в которых нумерация начинается с произвольного целого числа : После перенумерации членов по формуле такие ряды принимают вид (1), и для них сохраняются понятия сходимости и суммы ряда.
|