Порядок выполнения лабораторной работы. Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса (с числом узлов m= 3)

Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса (с числом узлов m= 3), если отрезок интегрирования разбит на n = 2, n = 4, n = 8 равных частей. Определить погрешность результата методом двойного пересчета и сравнить приближенные значения интеграла с точным .

Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

1. Вычисляем точное значение интеграла : ячейка Н1 =
" =(EXP(ПИ()/2)+1)/2".

2. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле прямоугольников.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В3 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (p/2)/2=p/4): ячейка D3 = " =ПИ()/4". В диапазоне B4: D4 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В4 = " =В3" (начальная точка x₀), ячейка С4 = " =B4+$D$3" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С4 в ячейку D4 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С5 = " =(B4+C4)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С5 в ячейку D5 (x_3/2 = (x₁ + x₂)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С6=" =EXP(C5)*SIN(C5)" и протягиваем формулу из С6 в ячейку D6. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В7 = " =D3*СУММ(C6: D6)". Для рассматриваемого примера J₁ = 2, 8020477.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В8 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (p/2)/4=p/8): ячейка D8 = " =ПИ()/8". В диапазоне B9: F9 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В9 = " =В8" (начальная точка x₀), ячейка С9 = " =B9+$D$8" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С9 в диапазон D9: F9
(x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С10 = " = (B9+C9)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С10 в диапазон D10: F10 (x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С11=" =EXP(C10)*SIN(C10)" и протягиваем формулу из С11 в диапазон D11: F11. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В12 = " =D8*СУММ(C11: F11)". Для рассматриваемого примера J₂ = 2, 8804203. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D12 = " =ABS(B7-B12)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F12 = " =ABS(B12-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В13 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (p/2)/8=p/16): ячейка D13= " =ПИ()/16". В диапазоне B14: J14 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В14 = " =В13" (начальная точка x₀), ячейка С14 = " =B14+$D$13" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С14 в диапазон D14: J14 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С15 = " = (B14+C14)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С15 в диапазон D15: J15 (x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С16=" =EXP(C15)*SIN(C15)" и протягиваем формулу из С16 в диапазон D16: J16. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В17 = " =D13*СУММ(C16: J16)". Для рассматриваемого примера J₃ = 2, 8990966. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D12 = " =ABS(B12-B17)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F17= " =ABS(B17-$H$1)".

3. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле трапеций.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В20 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (p/2)/2=p/4): ячейка D20 = " =ПИ()/4". В диапазоне B21: D21 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В21 = " =В20" (начальная точка x₀), ячейка С21 = " =B21+$D$20" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С21 в ячейку D21 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B22=" =EXP(B21)*SIN(B21)" и протягиваем формулу из B22 в диапазон C22: D22. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В23 = " =D20*((B22+D22)/2+СУММ(C22))". Для рассматриваемого примера J₁ = 3, 1071309.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В24 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (p/2)/4=p/8): ячейка D24 = " =ПИ()/8". В диапазоне B25: F25 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В25 = " =В24" (начальная точка x₀), ячейка С25 = " =B25+$D$24" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С25 в диапазон D25: F25 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B26=" =EXP(B25)*SIN(B25)" и протягиваем формулу из B26 в диапазон C26: F26. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В27=" =D24*((B26+F26)/2+СУММ(C26: E26))". Для рассматриваемого примера J₂ = 2, 9545893. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D27 = " =ABS(B23-B27)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F27 = " =ABS(B27-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В28 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (p/2)/8=p/16): ячейка D28= " =ПИ()/16". В диапазоне B29: J29 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В29 = " =В28" (начальная точка x₀), ячейка С29 = " =B29+$D$28" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С29 в диапазон D29: J29 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B30=" =EXP(B29)*SIN(B29)" и протягиваем формулу из B30 в диапазон C30: J30. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В31=" =D28*((B30+J30)/2+СУММ(C30: I30))". Для рассматриваемого примера J₃ = 2, 9175048. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D31 = " =ABS(B27-B31)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F31= " =ABS(B31-$H$1)".

3. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле Симпсона.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В34 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (p/2)/2=p/4): ячейка D34 = " =ПИ()/4". В диапазоне B35: D35 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В35 = " =В34" (начальная точка x₀), ячейка С35 = " =B35+$D$34" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С35 в ячейку D35 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С36 = " =(B35+C35)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С36 в ячейку D36 (x_3/2 = (x₁ + x₂)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B37=" =EXP(B35)*SIN(B35)" и протягиваем формулу из B37 в диапазон C37: D37. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С38=" =EXP(C36)*SIN(C36)" и протягиваем формулу из С38 в ячейку D38. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В39 = " =D34/6*(B37+D37+4*СУММ(C38: D38)+2*СУММ(C37))". Для рассматриваемого примера J₁ = 2, 9037421.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В40 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (p/2)/4=p/8): ячейка D40 = " =ПИ()/8". В диапазоне B41: F41 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В41 = " =В40" (начальная точка x₀), ячейка С41 = " =B41+$D$40" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С41 в диапазон D41: F41 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С42 = " =(B41+C41)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С42 в диапазон D42: F42 (x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B43=" =EXP(B41)*SIN(B41)" и протягиваем формулу из B43 в диапазон C43: F43. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С44=" =EXP(C42)*SIN(C42)" и протягиваем формулу из С44 в диапазон D44: F44. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В45=" =D40/6*(B43+F43+4*СУММ(C44: F44)+2*СУММ(C43: E43))". Для рассматриваемого примера J₂ = 2, 9051433. По формуле (4) при k = 4 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D45 = " =ABS(B39-B45)/15". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F45 = " = ABS(B45-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В46 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (p/2)/8=p/16): ячейка D46= " =ПИ()/16". В диапазоне B47: J47 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В47 = " =В46" (начальная точка x₀), ячейка С47 = " =B47+$D$46" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С47 в диапазон D47: J47 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С48 = " =(B47+C47)/2" (x_1/2 = (x₀ + x₁)/2), протягиваем формулу из С48 в диапазон D48: J48 (x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B49=" =EXP(B47)*SIN(B47)" и протягиваем формулу из B49 в диапазон C49: J49. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С50=" =EXP(C48)*SIN(C48)" и протягиваем формулу из С50 в диапазон D50: J50. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В51=" =D46/6*(B49+J49+4*СУММ(C50: J50)+2*СУММ(C49: I49))". Для рассматриваемого примера J₃ = 2, 9052327. По формуле (4) при k = 4 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D51 = " =ABS(B45-B51)/15". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F51 = " = ABS(B51-$H$1)".

4. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле Гаусса для m = 3 узлов.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В54 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (p/2)/2=p/4): ячейка D54 = " =ПИ()/4". В диапазоне B55: D55 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В55 = " =В54" (начальная точка x₀), ячейка С55 = " =B55+$D$54" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С55 в ячейку D55 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С57 = " =(B55+C55)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С56 = " =C57-КОРЕНЬ(0, 6)*(C55-B55)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С58=
" =C57+КОРЕНЬ(0, 6)*(C55-B55)/2". В диапазоне С59: С61 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С59 =
" =EXP(C56)*SIN(C56)" и протягиваем формулу в диапазон С60: С61. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С62 = " =(C55-B55)/18* (5*C59+8*C60+5*C61)". Протягиваем диапазон С56: С62 в диапазон D56: D62 и получаем в ячейке D62 интегральное слагаемое F₂ для второго частичного отрезка. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В63 = " =СУММ(C62: D62)". Для рассматриваемого примера J₁ = 2, 9052406.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В64 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (p/2)/4=p/8): ячейка D64 = " =ПИ()/8". В диапазоне B65: F65 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В65 = " =В64" (начальная точка x₀), ячейка С65 = " =B65+$D$64" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С65 в диапазон
D65: F65 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С67 = " =(B65+C65)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С66=" =C67-КОРЕНЬ(0, 6) *(C65-B65)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С68=" =C67+КОРЕНЬ(0, 6)*(C65-B65)/2". В диапазоне С69: С71 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С69=" =EXP(C66)*SIN(C66)" и протягиваем формулу в диапазон С70: С71. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С72 = " =(C65-B65)/18*(5*C69+8*C70+5*C71)". Протягиваем диапазон С66: С72 в диапазон D66: F72 и получаем в ячейках D72: F72 интегральные слагаемые F₂ –F₄ для остальных частичных отрезков. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В73= " =СУММ(C72: F72)". Для рассматриваемого примера J₂ = 2, 9052387. По формуле (4) при k = 2m = 6 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D73 = " = ABS(B63-B73)/63". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F73 = " = ABS(B73-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В74 = " 0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (p/2)/8=p/16): ячейка D74= " =ПИ()/16". В диапазоне B75: J75 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В75 = " =В74" (начальная точка x₀), ячейка С75=" =B75+$D$74" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С75 в диапазон D75: J75 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С77 = " =(B75+C75)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С76=" =C77-КОРЕНЬ(0, 6)* (C75-B75)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С78=" =C77+КОРЕНЬ(0, 6)*(C75-B75)/2". В диапазоне С79: С81 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С79=" =EXP(C76)*SIN(C76)" и протягиваем формулу в диапазон С80: С81. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С82=" =(C75-B75)/18*(5*C79+8*C80+5*C81)". Протягиваем диапазон С76: С82 в диапазон D76: J82 и получаем в ячейках D82: J82 интегральные слагаемые F₂ –F₈ для остальных частичных отрезков. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В73= " =СУММ(C82: J82)". Для рассматриваемого примера J₃ = 2, 9052387. По формуле (4) при k = 2m = 6 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D83 = " = ABS(B73-B83)/63". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F83 = " = ABS(B83-$H$1)".