Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами:

.

Ð j - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.

Ð j - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.

Ð j= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.

2) Проекция вектора на вектор:

.

Векторное произведение двух векторов.

Определение: Векторным произведением a´ b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:

1° │ с│ =│ a│ ·│ b│ ·sin φ, где Ð j= a, b;

2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b;

3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой.

Свойства векторного произведения:

1° антикоммутативность: a´ b= - b´ a.

a´ b= с, b´ a= -с.

2° (λ a)´ b= λ (a´ b).

3° a´ (b + с)= a´ b + a´ с.

4° a ´ а= 0.

│ a ´ а │ =│ a│ ·│ а│ sin 0°= 0. Отсюда следует, что a ´ а= 0.

Векторные произведения координатных ортов.

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и берется с «-», если по часовой стрелке.

i´ j= k,

i´ k= -j,

j´ k= i,

j´ i= -k,

i´ i= 0.