Системи числення і комп’ютери

Практична робота №1

ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ. АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ

Теоретичні відомості

Що таке система числення і які бувають системи числення

Системою числення називають сукупність прийомів запису чисел.

Непозиційні системи числення. Прикладом непозиційної системи числення є так звані римські цифри. У цій системі смисл кожного символу не залежить від місця, на якому він стоїть. Так запис LXXX позначає число 80. Символ X має значення 10 незалежно від його місця у запису.

Позиційні системи числення. У позиційній системі числення значення цифри в зображенні числа залежить від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, запис 5237 у позиційній системі числення означає, що це число містить 7 одиниць, 3 десятки, 2 сотні і 5 тисяч:

5´ 10³ + 2´ 10² + 3´ 10¹ + 7´ 10⁰.

Число 10, що присутнє у кожному доданкові, називають основою системи числення, а саму систему десятковою системою числення. Зверніть увагу, що для запису числа в десятковій системі ми використовуємо рівно десять цифр, які називають алфавітом системи числення: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Цифра (символ), що позначає основу, тобто у даному разі число «десять», відсутня. За принципом позиційної системи це число позначається одиницею в наступній позиції. Для того, щоб підкреслити, що число задане сааме у десятковій системі пишуть (5237)₁₀.

Ми користуємось десятковою системою з цілком зрозумілих причин - на руках у людини десять пальців. Ми звикли до неї, і ніколи свідомо не підкреслюємо значення основи. Але немає ніяких перешкод побудувати систему числення, якщо за основу взяти будь-яке інше натуральне число. Візьмемо, наприклад, за основу позиційної системи число 7, тоді запис (123)₇ буде означати вираз:

1´ 7² + 2´ 7¹ + 3´ 7⁰

Якщо виконати арифметичні дії, то отримаємо число 49 + 14 + 3 = 66. Тобто

(123)₇ = (66) ₁₀.

Зверніть увагу, що в будь-якій системі число рівне основі має вигляд 10, тому множення (ділення) на основу зводиться до перенесення коми, яка розділяє цілу і дробову частину на одну позицію праворуч (ліворуч):

(12)₇ ´ (7)₁₀ = (12)₇ ´ (10)₇ = (120)₇.

З числами у сімковій системі числення всі арифметичні операції виконуються за тими ж правилами, що і в десятковій системі.

Основа системи може бути більшою за 10. У світі широко вживаною до певного часу була дванадцяткова система числення (12 фаланг пальців на руці!). Залишки її зберігаються ще подекуди у грошових одиницях, у мірах довжини (1 фут дорівнює 12 дюймам). У стародавньому Вавилоні вживалася досить складна система з основою 60. Від неї ми зараз маємо поділення години на 60 хвилин, хвилини на 60 секунд, центрального кута кола на 360 градусів.

Системи числення і комп’ютери

Шістнадцяткова система числення

В комп’ютерних технологіях широко використовується шістнадцяткова система числення. Певна річ, що треба мати 16 символів для позначення цифр. Перші десять цифр можна запозичити з десяткової системи числення, а що до решти, то їх домовилися позначати великими латинськими літерами:

10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Таким чином запис (2CF) ₁₆ буде означати вираз

2´ 12² + 12´ 16¹ +15´ 16⁰ = (944)₁₀.

Двійкова і вісімкова системи числення

Окрім шістнадцяткової системи в комп’ютерних технологіях використовуються двійкова, а також вісімкова системи числення, які як і шістнадцяткова система мають основою степені двійки.

Алфавіт двійкової системи складається з двох цифр: 0, 1. Ці цифри мають назву біт від англійського «binary digit». Запис вигляду (101101)₂ означає вираз:

1´ 2⁵ + 0´ 2⁴ + 1´ 2³ + 1´ 2² + 1´ 2¹ + 1´ 2⁰ = (45)₁₀.

Нижче у таблиці одані перші шістнадцять цілих чисел, записаних у різних системах числення.

Зверніть увагу, що для запису чисел таблиці у двійковій системі знадобилося не більше ніж чотири біта.

Дріб у двійковій системі записується за тими ж правилами, що і десятковий дріб, але при підрахунку значення треба використовувати від’ємні степені двійки. Запис (0, 1101)₂ означає:

1´ 2^-1 + 1´ 2^-2 + 0´ 2^-3 + 1´ 2^-4 = 1´ 0, 5 + 1´ 0, 25 + 0´ 0, 125 + 1´ 0, 0625 = (0, 8125)_10.